Esercizi sulle serie numeriche: video scaricabili da http://www.teachertube.com
In questa collezione di video, tutti scaricabili da TeacherTube, è proposta una raccolta di esercizi, con soluzione commentata, sulle serie numeriche.
La raccolta non ha alcuna pretesa di completezza e sistematicità, e vuole semplicemente fornire un aiuto per la migliore comprensione di questo importante e difficile concetto.
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Esercizi vari ed esempi
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Introduzione: gli attrezzi fondamentali per trattare le
serie numeriche.
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Esercizi 1, 2, 3.
Determinare il carattere delle seguenti serie.
\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n\,\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)},\quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\,\ln\left(1+\frac{1}{n}\right),\quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n\,\ln\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\) -
Esercizi 4, 5.
Determinare il carattere delle seguenti serie.
\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{3+(-1)^n}{4^n},\quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin n}{n^2}\) -
Esercizi 6-12.
Determinare il carattere delle seguenti serie.
\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\), \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{(n+1)^3}\), \(\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\ln n}\), \(\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(\ln n)^n}\), \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(1+\sqrt{n})}\), \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{|\sin n|}{{n}^{1/n}}\), \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{n^2}\right)\sin\left(\frac{1}{n}\right)\). -
Esercizi 13, 14, 15.
Determinare il carattere delle seguenti serie.
\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{2^nx^n}{n^2+1}\), \(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2x}{x^2+4}\right)^n\), \(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(k+n)(k+n+1)}\). -
Esercizi 16, 17, 18.
Osservazioni pratiche sulle proprietà associativa e commutativa delle serie. -
Esercizio 19.
Determinare il carattere della seguente serie.
\(\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)\). -
Esercizi 20, 21, 22, 23.
Determinare il carattere delle seguenti serie.
\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\left(\ln\frac{x+1}{x}\right)^n\), \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\left(\ln\frac{\left|x+1\right|}{x-1}\right)^n\), \(\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{\cos(\pi n)}{\ln n}\), \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-\ln n}\)