Corso di Matematica e Statistica - A.A.2009/2010
Università degli Studi di Udine, sede di Pordenone, A.A.2009-2010, corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Multimediali.
Questa pagina contiene informazioni e notizie utili per gli studenti del corso di Matematica e Statistica, nonché link a vari materiali prodotti durante il corso. Le notizie ufficiali si trovano anche sul sito dell'Università.
Orario delle lezioni
- Mercoledì ore 10.00-13.00 (lezione)
- Venerdì ore 9.00-10.00 (ricevimento in aula)
- Venerdì ore 10.00-13.00 (lezione)
Modalità dell'esame
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Per superare la prova scritta occorre ottenere una valutazione maggiore o uguale a 15/30. Gli studenti che ottengono una valutazione di 15, 16 o 17 devono sostenere l'orale. Gli studenti che ottengono una valutazione compresa tra 18 e 26 possono registrare il voto ottenuto nella prova scritta, oppure chiedere di sostenere la prova orale. Gli studenti che ottengono una valutazione compresa tra 27 e 30 devono sostenere la prova orale.
Appelli d'esame
27 gennaio 2010 ore 9 (A-L) e ore 15 (M-Z)
12 febbraio 2010 ore 9 (A-L) e ore 15 (M-Z)
6 luglio 2010 ore 15
21 luglio 2010 ore 9
9 settembre 2010 ore 9
Attenzione: la data fissata è unica sia per lo scritto che per l'orale. Chi deve sostenere solo per l'orale, avendo superato lo scritto con le provette, deve presentarsi nella stessa data prevista per gli scritti. In caso di necessità saranno concordate personalmente date per i giorni successivi.
Diario delle lezioni
Di seguito il diario (abbastanza) dettagliato degli argomenti svolti a lezione.
23/09/2009: Presentazione del corso. Elementi di logica. La logica delle proposizioni. Connettivi logici. La logica dei predicati. Quantificatori. Sommatorie e produttorie. Insiemi e operazioni tra insiemi (introduzione).
25/09/2009: Operazioni tra insiemi (conclusione).Relazioni tra insiemi. Proprietà delle relazioni. Relazioni di equivalenza e proprietà. Partizioni. Classi di equivalenza e uso dei rappresentanti.
30/09/2009: Cenni sui numeri (naturali, interi, razionali, reali). Il principio di induzione nei naturali. Definizioni per ricorrenza (potenza e fattoriale). Intervalli di numeri reali.
02/10/2009: Il concetto di funzione. Vari tipi di grafici per le funzioni. Grafici cartesiani. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive.
07/10/2009: Funzioni elementari. Osservazioni su dominio e codominio delle funzioni definite mediante "regole matematiche": dominio naturale. Funzioni composte e proprietà. La funzione polinomiale di primo grado: la retta e le sue proprietà. La funzione di secondo grado: la parabola e le sue proprietà. La funzione valore assoluto. La legge di proporzionalità inversa e la sua rappresentazione grafica. Funzioni esponenziali elementari.
09/10/2009: Risoluzione di equazioni
esponenziali elementari e definizione di logaritmo.
Proprietà dei logaritmi. Grafici delle funzioni
logaritmo. Cenno alla definizione di radiante. Definizione di
seno e coseno e rappresentazione grafica delle funzioni
relative, con estensione a tutto l'asse reale. Grafici delle
funzioni potenza e confronto tra vari esponenti (file di Geogebra scaricabile).
Introduzione intuitiva al concetto di limite, mediante l'uso
di un foglio di calcolo (file
scaricabile formato .ods) dove sono riportati i calcoli
relativi al limite di quattro funzioni: \(\frac{\sin x}{x}\,\),
\(\frac{\sin x}{x^2}\,\), \(\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,\),
\(\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\,\), i primi tre per \(x\) tendente a
\(0\), l'ultimo per \(x\) tendente a \(1.\) Gli stessi
esempi sono riproposti in quattro file Geogebra (file1, file2, file3, file 4).
Definizione di intorno di un numero o punto. Proprietà
degli intorni. Unione e intersezione di un numero finito o
infinito di intorni.
La retta reale estesa con l'introduzione dei simboli di
infinito. Ordinamento nella reale reale estesa.
14/10/2009: Operazioni sulla retta reale estesa. Forme di indecisione. Intorni di infinito. Costruzione di grafici complessi a partire da grafici elementari, anche mediante l'uso delle operazioni definite sulla retta reale estesa (file di Geogebra scaricabile). Esempi di funzioni definite a tratti e loro implementazione in un software tipo Geogebra: il costrutto IF THEN ELSE (file di Geogebra scaricabile). Una speciale funzione definita a tratti, con applicazioni (file di Geogebra scaricabili: file1, file2, file3). La definizione formale di limite: un primo approccio grafico. Esempi.
16/10/2009: Punti di accumulazione. Ulteriori esempi di funzioni: le funzioni floor e ceil. La definizione formale di limite. Funzioni continue. Calcolo di limiti. Esempi ed esercizi.
21/10/2009: I teoremi dell'unicità del limite, della permanenza del segno e del confronto, con dimostrazione solo per via grafica. Limiti destro e sinistro. Osservazioni sul "segno di zero" nei limiti. Alcuni limiti notevoli: \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\,\), \(\lim_{x\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\), \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}\), \(\lim_{x\to 0}\frac{\ln (x+1)}{x}\). Discussione sul significato del limite \(\lim_{x\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\). Tangenti a una circonferenza ed estensione del concetto di tangente a una generica curva. La tangente come posizione limite di una secante. Primo approccio con la definizione di derivata.
23/10/2009: Definizione formale di derivata. Derivata destra e derivata sinistra. Esempi di calcolo di derivate. Continuità delle funzioni derivabili. Funzione derivata. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari. Osservazioni ed esempi sulla derivata di una funzione composta. Primo approccio allo studio del grafico di una funzione reale di variabile reale.
28/10/2009: I teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni. Massimi e minimi per le funzioni reali. Determinazioni dei massimi e minimi. Studio del grafico di una funzione.
30/10/2009: Concavità, convessità e flessi. Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Metodi per la ricerca degli asintoti. Conclusioni sullo studio del grafico di una funzione. Introduzione al calcolo integrali: il problema del calcolo delle "antiderivate" e il problema del calcolo delle aree. Esempi ed analisi preliminare dei problemi connessi.
04/11/2009: Primitive per una funzione continua su un intervallo. Regole di calcolo per le primitive di alcune funzioni elementari. Primitiva di una somma di due funzioni e del prodotto di una funzione per una costante. Esempi di calcolo di aree di plurirettangoli inscritti e circoscritti, per funzioni positive. La definizione di integrale definito per funzioni positive. Il teorema di Torricelli con esempi applicativi.
06/11/2009: Calcolo di aree di regioni piane racchiuse tra i grafici di due funzioni. Esempi vari dell'uso di integrali definiti. La matematica del discreto. Il concetto di successione reale di variabile reale. Esempi. Successioni definite per ricorsione.
10/11/2009: Limiti di successioni. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Qualche strategia per il calcolo del limite di una successione. Il calcolo combinatorio. Introduzione. Disposizioni semplici.
12/11/2009: Permutazioni semplici e con ripetizione. Combinazioni semplici. La formula del binomio di Newton. Il numero dei sottoinsiemi di un insieme. Vettori come classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti. Scomposizione di vettori. Somma di vettori.
18/11/2009: Vettori in Rn. Operazioni tra vettori. Proprietà delle operazioni tra vettori. Matrici. Somma di matrici. Prodotto di una matrice per un numero. Proprietà delle operazioni tra matrici. Prodotto righe per colonne delle matrici. Proprietà del prodotto tra matrici. Non commutatività. Elemento neutro. Introduzione al calcolo dell'inversa di una matrice.
20/11/2009: Prima prova parziale di accertamento.
27/11/2009: Esercizi. Determinante di una matrice quadrata. Matrici complementari. Complemento algebrico. Calcolo dell'inversa di una matrice. Minori. Rango di una matrice.
03/12/2009: Risoluzione di sistemi lineari di m equazioni in n incognite. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer. Introduzione al calcolo delle probabilità. Definizione classica e definizione frequentista di probabilità. Eventi. Algebra di eventi. Funzione di probabilità. Proprietà della funzione di probabilità. Probabilità subordinata. Eventi compatibili e incompatibili.
04/12/2009: Probabilità subordinata. Eventi compatibili e incompatibili. Teorema di Bayes. Variabili casuali discrete. Distribuzione di probabilità. Media. Varianza. Scarto quadratico medio.
09/12/2009: Variabili casuali continue. Cenno all'inferenza statistica. Variabili statistiche. Esercizi
10/12/2009: Medie: aritmetica, geometrica, armonica. Esercizi.
11/12/2009: Esercizi.
22/12/2009: Seconda prova parziale.
Buon lavoro!