Corso di Matematica 1 - I modulo - A.A.2008/2009
Università degli Studi di Udine, sede di Pordenone,
A.A.2008-2009, corso di Laurea in Ingegneria Meccanica.
Questa pagina contiene informazioni e notizie utili per gli
studenti del corso di Matematica 1, I modulo, nonché link
a vari materiali prodotti durante il corso. Le notizie ufficiali
si trovano anche sul sito dell'Università.
Orario delle lezioni
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Giovedì ore 9.30-11.30 (lezione)
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Giovedì ore 11.30-12.30 (sostegno in aula)
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Venerdì ore 14.30-16.30 (lezione)
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Venerdì ore 16.30-17.30 (sostegno in aula)
Programma dettagliato del corso
Questo programma contiene l'elenco dettagliato di tutti gli
argomenti effettivamente svolti a lezione e richiesti per il
superamento dell'esame. Il programma preventivo di massima
si può reperire sul sito dell'Università. I
teoremi di cui è richiesta la dimostrazione sono indicati
con la dicitura (dim).
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Richiami sugli insiemi. Alcuni simboli
logici di uso comune. Insiemi. Operazioni tra insiemi.
Insieme delle parti. Relazioni binarie. Proprietà
delle relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni
d'ordine. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore
di un insieme ordinato. Unicità del massimo e minimo
(dim). Funzioni o applicazioni. Funzioni iniettive,
suriettive, biiettive. Restrizioni di funzioni. Funzione
inversa. Funzioni composte.
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Numeri reali. Richiami sul numeri naturali e
interi e loro proprietà. La divisione con resto.
Principio di induzione. Potenza nei naturali. I numeri
razionali e le loro proprietà. Allineamenti decimali
finiti e periodici. Gli assiomi dei reali. Cenno alla
costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind.
Densità dei razionali nei reali e degli irrazionali
nei reali. Esistenza dell'estremo superiore (dim).
Proprietà caratteristiche dell'estremo superiore e
inferiore (dim). La radice n-esima aritmetica nei reali.
Numerabilità dei razionali (dim). Non
numerabilità dei reali (dim). Elementi di topologia
sulla retta reale. Intervalli. Teorema di Cantor (dim).
Intorni. Punti interni. Insiemi aperti. Punti di frontiera.
Insiemi chiusi. Insiemi chiusi e punti di accumulazione.
Insiemi chiusi e punti di frontiera. Teorema di
Bolzano-Weierstrass (dim). Punti isolati.
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Alcune funzioni elementari.
Generalità sulle funzioni reali di variabile. Dominio
naturale. Operazioni tra funzioni reali di variabile reale.
Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni pari e dispari.
Funzioni periodiche. Le funzioni trigonometriche e le loro
proprietà fondamentali. Angoli e loro misura. Le
funzioni trigonometriche inverse e le loro proprietà.
Classi separate e contigue di numeri reali. Potenze nei
reali. Esponenti naturali, interi, razionali. La definizione
di potenza con esponente reale (dimostrazione della
contiguità di due opportune classi di reali). Le
funzioni potenza. Le funzioni esponenziali. Le funzioni
logaritmo e la dimostrazione delle principali loro
proprietà.
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Limiti e continuità per le funzioni reali di
variabile reale. La definizione generale di limite.
Il caso particolare del limite finito. Limite destro e
sinistro. Una funzione ha limite finito se e solo se i limiti
destro e sinistro sono finiti e uguali (dim.). Limite delle
restrizioni. Teorema di unicità del limite (dim).
Teorema della permanenza del segno (dim). Teorema di
limitatezza locale (dim). Teoremi di confronto (dim). Limite
di somma, prodotto e reciproca (con dimostrazione nel caso di
limiti finiti). Altri teoremi sull'algebra dei limiti.
Forme di indecisione. Limite delle funzioni monotone. Limite
all'infinito per funzioni periodiche (dim). Limite del
valore assoluto di una funzione (dim). Funzioni continue.
Limite delle funzioni composte. Continuità
dell'inversa. Continuità delle funzioni elementari
(polinomi, trigonometriche e loro inverse, esponenziali e
logaritmo) (dim).
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Limiti notevoli. Proprietà delle funzioni
continue. Limite notevole relativo al seno (dim).
Limite notevole relativo al numero "e". Logaritmi
naturali. Applicazioni dei limiti notevoli. Limite di lnx/x,
all'infinito (dim). Altri limiti relativi alle funzioni
esponenziali e logaritmiche. Teorema sugli zeri di una
funzione continua (dim). Teorema di connessione (dim).
Teorema di Weierstrass.
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Derivate per funzioni reali di variabile
reale. Definizione e prime proprietà.
Continuità delle funzioni derivabili (dim). Condizione
per la derivabilità (dim). Derivate di somme,
prodotti, quozienti (tutte con dim). Derivata della funzione
composta (dim). Derivata della funzione inversa. Derivate
delle funzioni elementari: potenze, radici, trigonometriche e
inverse, esponenziali e logaritmiche (tutte con dim).
Funzioni iperboliche e loro proprietà. Derivate delle
funzioni iperboliche e delle loro inverse.
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Proprietà locali. Funzioni derivabili in un
intervallo. Funzioni crescenti e decrescenti in un
punto, massimi e minimi relativi. Teorema sulle funzioni
derivabili relativo alla crescenza e decrescenza locale
(dim). Teorema sulle funzioni derivabili relativo agli
estremi locali (dim). Asintoti. Funzioni asintotiche.
Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di
asintoti (dim). Teorema di Lagrange (dim). Corollario di
Rolle (dim). Funzioni a derivata nulla (dim). Funzioni con la
stessa derivata (dim). Funzioni con derivata di segno
costante (dim). Teorema di Cauchy. Teoremi di
l'Hôpital. Teorema sul limite della derivata (dim).
Proprietà di Darboux e derivate.
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Infinitesimi e infiniti. Infinitesimi e loro
confronto. Ordine di infinitesimo rispetto a un campione.
Principio di sostituzione degli infinitesimi. Infiniti e loro
confronto. Ordine di infinito rispetto a un campione.
Principio di sostituzione degli infiniti.
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Polinomi di Taylor. Convessità .
Derivate successive. Approssimante lineare e approssimazioni
polinomiali. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor-Peano
(dim). Formula di Taylor-Lagrange. Uso per le approssimazioni
numeriche. Concavità e convessità in un
intervallo: definizioni e prime proprietà. Funzioni
convesse con derivata seconda (dim). Proprietà locali
del secondo ordine. Convessità locale. Flessi.
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Successioni e serie numeriche. Successioni e
sottosuccessioni: definizioni e prime proprietà.
Limiti di successioni. Il numero di Nepero. Serie numeriche:
definizioni. Somma di una serie. Esempi: serie di
Mengoli e serie geometrica. Serie a termini positivi.
Convergenza assoluta. Condizione necessaria per la
convergenza (dim). Somma di due serie, prodotto di una serie
per una costante. Serie resto. Criterio del confronto per
serie a termini positivi. Divergenza della serie
armonica (dim). Serie armonica generalizzata. Criteri della
redice e del rapporto. Serie a segno alterno e criterio di
Leibniz. Proprietà commutativa e associativa per le
serie a termini positivi.
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Serie di potenze. Serie di funzioni:
definizioni. Serie di potenze. Lemma di Abel (dim). Raggio di
convergenza. Derivazione e integrazione per serie.
Sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor.
Funzioni analitiche. Sviluppi di alcune funzioni elementari.
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Numeri complessi. Definizioni. Forma
algebrica. Il piano di Argand-Gauss. Forma trigonometrica.
Radici nei complessi. Successioni e serie nei complessi
(cenni). La convergenza assoluta implica la convergenza
(dim). Le funzioni elementari nei complessi (cenni). Formule
di Eulero (dim).
Modalità dell'esame
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. La
prova scritta si svolge assieme al parallelo corso di Matematica
1 - II modulo. La prova orale ha luogo su convocazione,
successivamente alla prova scritta, e consta nella discussione
della prova scritta stessa, nonché di domande relative
alla parte di teoria.
Appelli d'esame
Sessione di gennaio-febbraio 2009:
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Primo appello: 29 gennaio 2009, ore 9-13
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Secondo appello: 12 febbraio 2009, ore 9-13
Buon lavoro!
copyright 2007 et seq. luciano battaia
pagina pubblicata il 01/10/2008 - ultimo aggiornamento il
28/09/2009