Osservazioni sulle basi negli spazi dei vettori geometrici
Consideriamo uno spazio vettoriale geometrico \(V_{\alpha}\) (insieme dei vettori geometrici paralleli a un dato piano \(\alpha\)). Come è noto una qualunque coppia di vettori non paralleli, \((\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{v}_2)\), costituisce una base per \(V_{\alpha}\). Questo significa due cose:
- lo spazio \(V_{\alpha}\) è generato dai due vettori \(\overrightarrow{v}_1\) e \(\overrightarrow{v}_2\): \(V_{\alpha}=\big<\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{v}_2\big>\);
- i coefficienti della combinazione lineare che fornisce \(\overrightarrow{v}\) a partire da \(\overrightarrow{v}_1\) e \(\overrightarrow{v}_2\) sono univocamente determinati.
Vogliamo provare, mediante un'immagine dinamica, che se invece di due vettori non paralleli prendiamo tre vettori a due a due non paralleli, \(\overrightarrow{v}_1,\,\overrightarrow{v}_2\) e \(\overrightarrow{v}_3\), si ha ancora \(V_{\alpha}=\big<\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{v}_2,\overrightarrow{v}_3\big>\), ma, questa volta, i coefficienti della combinazione non sono più univocamente determinati.
Nell'immagine dinamica (creata con Geogebra), puoi modficare, entro certi limiti, la scomposizione di un vettore \(\overrightarrow{v}\) arbitrario di \(V_{\alpha}\), secondo tre vettori dati \(\overrightarrow{v}_1,\,\overrightarrow{v}_2\) e \(\overrightarrow{v}_3\), utilizzando due cursori.