In these two lessons we are going to find a new way of
representing complex numbers in the Gauss plane. Then, using
Cabri, we'll find some interesting properties of this new
representation.
Questa lezione, della durata di due ore, si svolge in aula
informatica, utilizzando Cabri. Scopo della lezione è
di introdurre operativamente la forma polare dei numeri
complessi e di scoprire, sempre usando Cabri, il modo con cui
si eseguono somme e prodotti in forma polare. Gli studenti
già conoscono l'uso di Cabri per la geometria
piana. I primi esercizi prevedono di usare le
possibilità dinamiche di Cabri per visualizzare i
risultati già appresi nelle lezioni precedenti;
successivamente gli studenti saranno guidati a
"scoprire" le nuove caratteristiche: non viene
infatti data a priori alcuna definizione. Cabri offre la
possibilità di costruire figure "dinamiche"
e questo aiuta molto nella comprensione dei nuovi concetti.
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The lessons begin
Exercise: use Cabri to represent in the Gauss
plane the complex numbers 1+i and -1+2i. Get
the sum of these two numbers with the usual rule and then
represent this sum in the "Cabri plane". Show, using
the software, that the "parallelogram rule" holds.
Exercise: move the points (1,1) and (-1,2) and
see how the point (0,3) varies.
Exercise: now erase the sum, calculate the
product of the two vectors (using Cabri Calculator), represent
it in the plane, measure the length of all the vectors and the
angles between them and the positive x axis (in the
counterclockwise direction). By moving the original vectors can
you see some simple relation between their lengths and angles
and the lenght and angle of the product?
Nella costruzione della figura dinamica qui sopra proposta ci
sono delle difficoltà legate al modo in cui Cabri
misura gli angoli (compresi, come opzione di default, tra
0° e 180°). La costruzione di una figura che possa
trattare anche situazioni con angoli concavi non è
banale e richiede una conoscenza non elementare delle
caratteristiche di Cabri. In ogni caso, per evitare inutili
complicazioni, ci si può limitare a considerare
situazioni in cui tutti gli angoli coinvolti sono minori di
180°: la valenza didattica della "sperimentazione
Cabri" rimane intatta.
La conclusione che si vuole ottenere con questa
sperimentazione è immediata se il "product
angle" non supera i 360°; richiede invece un
intervento da parte del docente per spiegare che, con angoli
maggiori, ci si riduce comunque, per differenza, ad angoli
compresi tra 0° e 360°. Nella nostra esperienza,
comunque, almeno gli studenti più attenti se ne sono
accorti in via autonoma.
Ci preme segnalare che gli studenti a cui questo modulo
è diretto non hanno una conoscenza delle formule di
addizione e sottrazione del seno e del coseno e, di
conseguenza, l'uso di una "sperimentazione
dinamica" è strumento indispensabile per giungere
alla conclusione voluta. In ogni caso ci pare che, anche nel
caso di studenti che conoscono le formule citate, la valenza
didattica di questo approccio sia innegabile.
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We can conclude with the following rules:
Every complex number a+ib has a unique
"length", that we call its absolute value,
ρ, and is characterized by a unique angle between a
vector and the positive x axis, that we call
argument, θ: the complex number will be
represented by this pair of numbers and we'll write:
a+ib=[ρ,θ]. Square brackets are used to
differentiate this couple of numbers from the cartesian
coordinates.
The product of two complex numbers
[ρ1,θ1] and
[ρ2,θ2] is simply
[ρ1·ρ2,θ1+θ
2].
The lessons end - Homework
Using Cabri try to find a rule for the quotient of two
complex numbers.
