Lesson 3
The subject of the lesson
In this lesson we're going to summarize the results obtained
so far. Then we'll be able to give a formal definition of
Complex Number and, in the end, we'll introduce a useful
geometric representation of these numbers.
The lesson begins
Iniziare una lezione facendo un breve riepilogo di quanto
fatto la volta precedente è buona pratica didattica.
Nel caso dell'insegnamento in lingua questa procedura
è oltremodo utile: se lo studente ha studiato i nuovi
argomenti e svolto gli esercizi proposti come lavoro
domestico, il risentire concetti che, dal punto di vista del
contenuto matematico dovrebbe aver ormai appreso, gli
consentirà di concentrare maggiormente la sua
attenzione sull'aspetto più propriamente
linguistico. Anche in questo caso, trattandosi di intervento
ex-cathedra, è bene che la sua durata sia
ridotta al minimo indispensabile.
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The most important outcomes of last lesson are:
-
Firstly we introduced a new object, i, with the the
property that i2=-1. From now on this new
object will be called imaginary unit.
-
Mixing the imaginary unit with the "old" real
numbers we have obtained expressions of the form
a+ib, with a and b real numbers.
These expressions are the Complex Numbers. The set
of all complex numbers is usually denoted by
C.
-
We have seen that it is possible to perform the ordinary
operations with these numbers, and the operations have the
same properties they had in R: associative
and commutative properties of addition and multiplication,
distribuitive property of multiplication over addition.
While real numbers are usually denoted by x, complex
numbers are usually denoted by z: we write z =
a+ib; a is the real part of z, while
b is its imaginary part.
Now let's observe that a complex number is, substantially, a
pair of real numbers: we could write z=(a,b).
We already know a standard way of representing couples of real
numbers, using Cartesian coordinates. We can conclude that
complex numbers may be represented as points in a plane: when a
plane is used to represent complex numbers it is usually called
a Gauss or Argand-Gauss plane.
A questo punto si possono chiamare alla lavagna gli studenti
individualmente, facendo loro rappresentare nel piano alcuni
numeri complessi e, successivamente, facendo rappresentare
coppie di numeri assieme alla loro somma: lo scopo è
quello di introdurre in maniera operativa il concetto che i
numeri complessi si comportano, riguardo alla somma,
esattamente come i vettori del piano con il primo estremo
nell'origine.
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Exercise: Represent in the plane the numbers
z1=2+i,
z2=3-2i,
z3=-2-i.
Exercise: Represent in the plane the numbers
z1=1+i and
z2=-1+2i. Calculate the sum of
these two numbers and represent it in the plane. Do you remember
something similar in the theory of vectors?
Naturalmente non ci si può aspettare una risposta
affermativa immediata: occorrerà condurre pian piano
lo studente a trovare la risposta giusta...
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The lesson ends - Homework
Download the homework (pdf file).
copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia
first published on april 04 2005 - last updated on april 04 2005