Lesson 2
The subject of the lesson
In this lesson we are going to introduce the trick cooked up by
mathematicians in order to solve "impossible
equations", such as x2+1=0. We'll
find that the solution is very simple and that here is
substantially one only new math rule to know.
The lesson begins
The reason that prevents the equation x2+1=0
from having solutions is that there is no real number x
whose square is -1: the square of every real number is, in fact,
greater than zero. So the idea to circumvent this problem is:
can we consider a new, imaginary, object (not yet a number!),
that we can call i (the
first letter of imaginary), whith the property that i2=-1?
Let's suppose that this is possible and try to make some
calculations, treating this object as an ordinary number, with
the extra property that i2=-1 and preserving
all other properties already known: we'll
find that this is the right idea!
E' molto importante segnalare il fatto che nelle poche
righe che precedono è contenuto tutto l'intervento
ex-cathedra del docente per quanto riguarda la
presente lezione: tutto il resto è lavoro fatto dagli
studenti, con l'insegnante solo in funzione di guida.
Un'introduzione sistematica (con il metodo induttivo) dei
numeri complessi lascia spesso sconcertati gli studenti e
rende l'argomento Numeri complessi ostico e
difficile: questo approccio è assolutamente da
evitare, tanto più in una lezione fatta in lingua
inglese.
La lezione prosegue ora chiamando a turno gli studenti alla
lavagna a risolvere esercizi di difficoltà crescente
che usino il nuovo oggetto i e la sua
proprietà: è possibile così, sfruttando
le conoscenze acquisite dagli studenti in algebra al biennio,
giungere rapidamente all'introduzione delle quattro
operazioni, facendole derivare da tecniche già
più volte utilizzate.
Alla fine della lezione il docente potrà riassumere le
"regole" che si sono costruite, dando loro una
forma sistematica. Nel migliore dei casi si potrebbe
addirittura assegnare come lavoro domestico agli studenti di
dedurre le regole, magari dando solo qualche indicazione di
massima.
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Exercise 1: Find i3,
i4, i5, and so on up to
i10. Can you conclude something interesting
about the subsequent powers of i?
Exercise 2: How can we write i+i?
Exercise 3: How can we write 2i+5i?
Exercise 4: Is there a simpler way of writing
2+i?
Exercise 5: How can we simplify the addition of
3+2i and 5-4i?
Exercise 6: How can we write the product of
3+2i and 5-4i?
Exercise 7: How can we write the quotient of
3+2i and 5-4i?
Per questo esercizio occorre un intervento esplicito da parte
del docente. La migliore strategia consiste nel richiamare
gli esercizi di razionalizzazione del denominatore di
frazioni aventi al denominatore la somma (o la differenza) di
due radicali, cercando di portare progressivamente lo
studente che si trova alla lavagna, magari con l'aiuto
dei compagni, a scoprire la regola da applicare. Una volta
scoperta la regola è opportuno codificarla e fare
altri esempi.
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Exercise 8: Try to simplify the following
expression: .
Conclusion
Having introduced the "object" i with the
strange property that i2=-1, we have
obtained a whole category of new objects that can be written in
the form a+ib, where a and b are real
numbers. With these objects we can do the operations as with
ordinary real numbers and all properties of the operations are
still valid. We'll see that this is the central point in our
construction of Complex Numbers.
The lesson ends - Homework
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copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia
first published on april 04 2005 - last updated on april 04 2005