Problema 11 - Soluzione
Dire se esiste un triangolo equilatero che, in un piano riferito ad un sistema cartesiano ortogonale, ha tutti i vertici con coordinate razionali.
(da Gonzalez E., Stefani O., Eserciziario di Analisi Matematica, vol.I, Libreria Progetto, Padova 1989)
Schema della soluzione.
Chiamiamo A, B, C i vertici del triangolo equilatero e
disponiamoli come nella figura. Chiamando l la
lunghezza del lato, le coordinate dei tre punti sono: 
. Affinché tutti i vertici abbiano
coordinate razionali, è necessario che sia l,
sia 
siano razionali; ciò non
è possibile, in quanto il prodotto di un numero razionale
per un irrazionale dà come risultato sempre un
irrazionale.
Questa figura si può considerare comunque un caso generale; infatti, potremmo spostare il triangolo in una qualunque direzione, di una quantità razionale o irrazionale. Se lo spostiamo di una quantità razionale, la tesi rimane falsa, perché la somma di un irrazionale e di un razionale resta irrazionale; se lo spostiamo di una quantità irrazionale, invece, i punti A e B vengono ad avere almeno una coordinata irrazionale.
Soluzione di Giovanni Pizzi , classe IVB Liceo Grigoletti Pordenone, A.S. 2001/2002