Provare che, dato un qualunque insieme di 5 interi, ne esistono tre la cui somma è divisibile per 3.
(da AA.VV., Maths pour les cracks, Bordas, Parigi 1999)
Schema della soluzione.
Consideriamo l'insieme : Poiché si ha (divisione intera di un naturale per 3): n = 3q + r, con , l'insieme A si potrà scrivere come . Quindi la somma di tre numeri qualunque di questo insieme può essere espressa nella forma
.
Di questa è interessante valutare la parte riguardante i resti, poiché se la somma di tre resti qualunque tra i cinque è sempre un multiplo di tre, allora il numero (1) è sempre un multiplo di tre. Ciò è vero. Infatti nell'insieme dei resti si danno due possibilità:
Soluzione diGiuseppe Menegoz e Giovanni Pizzi, classe IIIB Liceo Grigoletti Pordenone, A.S. 2000/2001