Problema 3 - Soluzione
Provare che, dato un qualunque insieme di 5 interi, ne esistono tre la cui somma è divisibile per 3.
(da AA.VV., Maths pour les cracks, Bordas, Parigi 1999)
Schema della soluzione.
Consideriamo l'insieme 
: Poiché si
ha (divisione intera di un naturale per 3): n
= 3q + r, con 
, l'insieme A si
potrà scrivere come 
. Quindi la somma di
tre numeri qualunque di questo insieme può essere
espressa nella forma
.
Di questa è interessante valutare la parte riguardante i resti, poiché se la somma di tre resti qualunque tra i cinque è sempre un multiplo di tre, allora il numero (1) è sempre un multiplo di tre. Ciò è vero. Infatti nell'insieme dei resti si danno due possibilità:
- Esistono 3 "0", 3 "1" o 3 "2" e la loro somma è un multiplo di 3.
- Non esistono terne di numeri uguali, ma allora esiste almeno uno "0", un "1" e un "2" e la loro somma è, appunto, 3.
Soluzione diGiuseppe Menegoz e Giovanni Pizzi, classe IIIB Liceo Grigoletti Pordenone, A.S. 2000/2001