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Problema 8 - Soluzione

Dimostrare che, per ogni naturale n:

• n³-n è divisibile per 3

• n⁵-n è divisibile per 5

• n⁷-n è divisibile per 7

(Si tratta di casi particolari di un teorema di Fermat che afferma che, se p è un primo, allora per ogni naturale n, n^p-n è divisibile per p. Si può tentare di provare questo teorema generale).

Schema della soluzione.

• Possiamo scomporre n³-n come n(n+1)(n-1); sicuramente uno di questi tre fattori è multiplo di 3, quindi possiamo affermare che n³-n è multiplo di 3.
• Possiamo scomporre n⁵-n come n(n+1)(n-1)(n²+1). Dato un numero naturale n, si presentano i seguenti 5 casi: uno ed uno solo tra (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2) è multiplo di 5. Nel caso che (n-1), n o (n+1) siano multipli di 5, allora anche n⁵-n è multiplo di 5. Analizziamo ora gli altri due casi: 
  • Se (n-2) è multiplo di 5, allora posto n-2=u, con u multiplo di 5, abbiamo n = u+2; quindi n²+1 = (u+2)²+1 = u²+4u+5; dato che u è multiplo di 5, allora anche n²+1 è multiplo di 5, e quindi anche n⁵-n.
  • Se (n+2) è multiplo di 5, abbiamo n = u-2, e n²+1 = u²-4u+5, anche questo multiplo di 5, con le stesse conclusioni del caso precedente.
• Possiamo scomporre n⁷-n come n(n+1)(n-1)(n²+n+1)(n²-n+1). Dato un numero naturale n, si presentano i seguenti 7 casi: uno ed uno solo tra (n-3), (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2), (n+3) è multiplo di 7. Nel caso che (n-1), n o (n+1) siano multipli di 7, allora anche n⁷-n è multiplo di 7. Analizziamo ora gli altri 4 casi, analogamente al caso precedente:
  • Se n-3 è multiplo di 7: n²-n+1 = (u+3)²-u-3+1 = u²+5u+7 e quindi n⁷-n è multiplo di 7.
  • Se n-2 è multiplo di 7: n²+n+1 = (u+2)²+u+2+1 = u²+5u+7 e quindi n⁷-n multiplo di 7
  • Se n+2 è multiplo di 7: n²-n+1 = (u-2)²-u+2+1 = u²-5u+7 e quindi n⁷-n multiplo di 7.
  • Se n+3 è multiplo di 7: n²+n+1 = (u-3)²+u-3+1 = u²-5u+7 e quindi n⁷-n multiplo di 7.

Soluzione di Giovanni Pizzi , classe IIIB Liceo Grigoletti Pordenone, A.S. 2000/2001

copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia

pagina pubblicata il 01/02/2001 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003