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Relatività e campo elettromagnetico

Consideriamo un condensatore piano mobile, in un dato riferimento, con velocità v. Siano l0 e w0 le sue dimensioni misurate da un osservatore solidale al condensatore (dimensioni a riposo). Poniamo, per questioni di semplicità, u=v/c (ciò equivale a misurare le velocità in "unità c"); avremo dunque v=uc. Le dimensioni misurate da un osservatore solidale al riferimento saranno img e w=w0. Supponiamo che le due piastre siano caricate come nella figura qui sotto.  Tra le due piastre è presente un campo elettrico, uniforme, diretto nel verso positivo dell'asse y e dato dalle formule: img.

condensatore piano in moto

Le due piastre in movimento costituiscono delle correnti e dunque generano un campo magnetico. Se supponiamo di dividere ognuna delle due piastre in tante striscioline parallelamente alla direzione del movimento, come nella figura qui sotto dove abbiamo rappresentato la situazione vista dall'alto, potremo pensare ad ognuna delle due piastre come ad un insieme di fili percorsi da corrente, messi vicinissimi uno all'altro.

Se N è il numero di suddivisioni, cioè di fili percorsi da corrente, la piastra negativa sarà percorsa da correnti nel verso negativo dell'asse x, quella positiva da correnti nel verso positivo.

Il condensatore sarà assimilabile ad un solenoide se immaginiamo che ciascun filo sulla piastra negativa si chiuda a circuito con il corrispondente della piastra positiva.

condensatore in moto

Come in un normale solenoide all'interno sarà presente un campo magnetico, uniforme, diretto nel verso positivo dell'asse z, e dato dalle formule (n rappresenta, al solito, il numero di spire per unità di lunghezza):

img.

Per valutare la corrente i possiamo utilizzare il seguente ragionamento: la carica Q contenuta su ognuna delle piastre si sposta, verso la direzione positiva dell'asse x, del tratto l nel tempo img. La carica, q, contenuta su ognuna delle suddivisioni è img, dunque la corrente i è data da img. Per il campo B si ottiene, tenendo anche conto che w=w0img.

condensatore in moto e solenoidi

Supponiamo ora di avere un secondo riferimento, mobile con velocità V nella direzione positiva dell'asse x. Allora il condensatore avrà una diversa velocità ,v', in questo riferimento e, se poniamo img e img, per i campi elettrico e magnetico misurati da questo nuovo osservatore varranno le stesse formule ottenute prima, con la semplice sostituzione di u' al posto di u:

 img.

Possiamo ora utilizzare la formula per la composizione delle velocità; dividendo ambo i membri per c, essa diventa img. Se sostituiamo questa formula in quella che dà E' e B'  e ricordiamo che img, troviamo: img. In modo perfettamente analogo, se si lavora su B'z, si ottiene img.

Se riprendiamo in considerazione il condensatore in moto e lo disponiamo come nella figura qui sotto, ritroveremo risultati simili a quelli già visti, ma coinvolgenti ora le componenti Ez e By dei campi. Si trova, in maniera quasi identica, img.

condensatore in moto

Se disponiamo il condensatore come nella figura qui sotto, otteniamo che Ex=E'x. Si può capire facilmente che il campo elettrico per i due osservatori non è diverso in questo caso perché l'unica cosa che varia da un osservatore all'altro è la distanza tra le piastre, ma il campo elettrico di un condensatore non dipende dalla distanza tra le piastre.

condensatore in moto

Non è agevole dimostrare che, per il campo magnetico, vale la relazione Bx=B'x, al passaggio da un osservatore ad un altro, nonostante la apparente semplicità della formula, e rinunciamo a proporre i calcoli. Riassumendo le formule che abbiamo via via trovato otteniamo le formule per la trasformazione dei campi da un riferimento all'altro:

img.

Occorre sottolineare che i discorsi che abbiamo fatto per ottenere queste formule non ne costituiscono una dimostrazione rigorosa: sono piuttosto da interpretare come una illustrazione, peraltro molto significativa, di come le trasformazioni di Lorentz intervengono nel cambiamento del campo elettromagnetico da un osservatore all'altro.

Quello che è importante in queste trasformazioni è che esse miscelano i campi tra loro: non ha senso parlare di campo elettrico o di campo magnetico, nemmeno in condizioni in cui, come nell'esempio qui considerato, non intervengano né fenomeni di induzione né le correnti di spostamento, quello che conta è il campo elettromagnetico. Se per esempio ho una carica in quiete nel primo riferimento avrò un campo elettrico come quello previsto dalla legge di Coulomb img e nessun campo magnetico. Nel secondo riferimento avrò un campo elettrico img, e quindi non molto diverso dal precedente almeno per basse velocità, ma avrò anche un campo magnetico, img, piccolo per piccole velocità quando γcongruente1  e βcongruente0, ma non nullo. Questo fatto naturalmente era già noto nella teoria classica, perché una carica in moto genera un campo magnetico, ma l'apparire ora di questo campo magnetico non è una cosa strana, è semplicemente una manifestazione del fatto che i due campi elettrico e magnetico sono espressioni di un'unica entità fisica: il campo elettromagnetico. Vedere l'uno o l'altro è solo una questione di sistemi di riferimento. La unificazione profonda dei concetti di campo elettrico e magnetico è uno dei pilastri della teoria della relatività, che, in realtà, si caratterizza proprio per tutta una serie di unificazioni (spazio e tempo, energia e momento, campo elettrico e campo magnetico).

É facile risolvere, alla luce delle formule di trasformazione per il campo elettromagnetico, un famoso "paradosso" della teoria classica delle interazioni magnetiche. 

Consideriamo un filo percorso da corrente i nel verso delle x negative, come nella figura qui sotto, e supponiamo di piazzare una carica q, negativa, ad una distanza data dal filo e in moto, rispetto al filo, con la stessa velocità v degli elettroni di conduzione (di norma intorno a 10-4 m/s). Nel riferimento del filo la carica risentirà di una forza, la forza di Lorentz, che la farà avvicinare al filo. Nel riferimento della carica, dal punto di vista classico, nulla cambia per il campo magnetico (invece di cariche negative che si muovono "verso destra" avrò cariche positive che si muovono "verso sinistra" e cioè la stessa corrente di prima), solo che ora la carica è ferma e dunque non ci saranno effetti magnetici. La carica sembra non risentire più di alcuna attrazione verso il filo (si noti che le velocità in gioco sono estremamente basse).

carica in moto rispetto ad un filo percorso da corrente

Se descriviamo l'esperimento in termini delle formule di trasformazione del campo elettromagnetico troveremo che, nel riferimento del filo, la carica risente di un campo magnetico avente unica componente Bz data dalla nota espressione del campo di un filo rettilineo percorso da corrente, mentre nel riferimento della carica risentirà, oltreché della presenza di un campo magnetico quasi uguale a prima, anche della presenza di un campo elettrico diretto come l'asse y positivo e dato dalla formula img, che dunque attirerà la carica negativa verso il filo. (Il fatto che la carica si avvicini al filo deve essere una proprietà invariante, cioè indipendente dal riferimento).

Ci si può rendere conto di quanto appena osservato anche con un ragionamento basato solo su misure di lunghezza. Se, nel riferimento del filo, le cariche positive e negative si bilanciano in quanto distribuite allo stesso modo (non c'è effetto elettrostatico prodotto da un filo percorso da corrente), nel riferimento della carica le cariche positive sono viste muoversi verso sinistra, per cui esse risulteranno distribuite su una lunghezza più piccola e non ci sarà più bilanciamento rispetto a quelle negative.

carica in moto rispetto ad un filo

filo in moto rispetto ad una carica

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pagina pubblicata il 01/12/2000 - ultimo aggiornamento il 01/12/2011