Pierino e le equazioni cardinali della dinamica
Ovvero: qualche considerazione, tra il serio e il faceto, sull'introduzione alla dinamica dei sistemi.
Il solito Pierino, per scucire una mancia dalla nonna, le propone il seguente gioco:
Pensa due numeri, somma il doppio del primo con il secondo e il primo con il doppio del secondo e dimmi i risultati.
La nonna risponde: 8 e 10. E Pierino: hai pensato 2 e 4, e ottiene immediatamente i 5 € pattuiti (ai tempi della lira sarebbero state mille lire, ma ora la banconota più piccola è di 5 €...).
Per gli esperti matematici il problema è banale e si
può tradurre in un semplice sistema lineare di 2
equazioni in 2 incognite: 
, da cui si trae
subito la soluzione.
Pierino, che qualche volta ha sentito trattare l'argomento a scuola, potrebbe aver risolto il sistema in vari modi. Una possibilità è di sommare le due equazioni, ottenendo x+y = 6. Questa sola informazione però non è sufficiente a risolvere il problema: non solo ora ci sono varie coppie possibili (0,6), (1,5), ecc., tra cui naturalmente quella giusta, ma si è anche persa l'informazione, per esempio, che i numeri pensati dalla nonna erano entrambi pari. Succede sempre così quando si sostituisce un sistema di due equazioni con una sola, ottenuta in qualche modo dalle due di partenza. Naturalmente non tutto è perduto: anche con questa sola informazione si può decidere che nessuno dei due numeri è maggiore di 6! Se però Pierino fa anche la sottrazione delle due equazioni, ottiene x - y = -2, e allora la risposta diventa facile e univoca.
Se i numeri fossero stati tre, Pierino avrebbe dovuto fare almeno tre richieste alla nonna, e non gli sarebbe più bastato fare la somma e la differenza come prima (almeno in generale): nel passare da tre equazioni a due si perde sicuramente qualche informazione indispensabile per risolvere il problema.
Consideriamo ora un insieme di n punti materiali, di masse m1, m2, ecc. ognuno sottoposto ad una forza F1, F2, ecc. Per ciascuno di essi vale l'equazione della dinamica: Fi = miai, Se scriviamo tutte queste equazioni e facciamo una somma membro a membro otteniamo una nuova equazione, che conterrà ancora qualche informazione utile, ma che non sarà, in generale, sufficiente a risolvere il problema del moto di tutti i punti. L'equazione così ottenuta, opportunamente manipolata, può essere scritta, per esempio, nella forma:
detta equazione del moto del baricentro, o prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi.
Questa equazione contiene un'informazione essenziale nello studio del moto dei sistemi di punti: il baricentro si muove come se ad esso fosse applicata la somma delle forze esterne e come se esso avesse l'intera massa del sistema. Come si vede non tutto è perduto passando da un insieme di n equazioni ad una sola equazione.
Se facciamo qualche altra combinazione delle equazioni date e la aggiungiamo alla informazione appena ottenuta, possiamo sperare di riuscire a scoprire ulteriori particolari del moto del sistema di punti. La combinazione che si fa è quella di moltiplicare vettorialmente ciascuna equazione per OP, dove O è un punto arbitrariamente scelto e poi sommare. Si ottiene una nuova equazione, più complessa della precedente, e detta seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi. Esula dagli scopi di questa pagina la scrittura esplicita di questa equazione. Segnaliamo solo che, nel caso di un corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso, questa equazione può essere semplificata fino ad ottenere la forma
τ = Iα,
che permette di trattare questo tipo di moti come l'ordinario moto di rotazione di un punto.
Queste sono le due combinazioni delle equazioni dei moti di un sistema di punti che hanno interesse applicativo, ed è chiaro che, da sole, non permettono, in generale di risolvere completamente il problema del moto. Come però nel caso del gioco di Pierino limitato a soli due numeri, anche ora queste due combinazioni sono sufficienti a risolvere il problema del moto in un caso di particolare importanza: quello dei corpi rigidi (anche se ovviamente i calcoli non sono più alla portata dello scaltro Pierino!).
Ci si potrebbe chiedere perché, invece, non si risolve direttamente il sistema costituito dalle n equazioni di partenza: il problema è che, nei casi pratici, n è di solito infinitamente grande e allora...