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Il teorema di Brianchon e le coniche tangenti a 5 rette

In questa pagina vogliamo esaminare come si possa utilizzare il teorema di Brianchon sulle coniche per costruire una conica tangente a 5 rette assegnate, come luogo inviluppo di una sesta tangente alla conica stessa.

Questo teorema, pubblicato da Charles Julien Brianchon (1783,1864) nel 1806 sul Journal de l'École polytecnique di Parigi, è il duale del teorema di Pascal e afferma

Considerato un esagono circoscritto a una conica, i cui vertici consecutivi sono \(T_{12}, T_{23}, T_{34}, T_{45}, T_{56}, T_{61}\), le congiungenti delle tre coppie di vertici opposti, \(T_{12}\) e \(T_{45}\), \(T_{23}\) e \(T_{56}\), \(T_{34}\) e \(T_{61}\), si incontrano in uno stesso punto.

La figura seguente illustra la situazione nel caso di un'ellisse.

Immagine relativa al teorema di Brianchon

Puoi anche visualizzare un'immagine dinamica della costruzione relativa al teorema di Brianchon.

Qui vogliamo vedere come si possa utilizzare il teorema di Brianchon per costruire una conica tangente a 5 rette date, utilizzando la seguente idea: date 5 rette a cui la conica deve essere tangente, si individua la sesta retta atta a costruire l'esagono circoscritto alla conica stessa. Variando la posizione di questa sesta tangente si otterrà, come inviluppo di rette, la conica richiesta.

Lo schema dei passaggi da eseguire è il seguente.

La figura seguente illustra i passi indicati.

Costruzione della conica tangente a 5 rette

Puoi anche vedere un'animazione della costruzione della conica.

pagina pubblicata il 19/01/2008 - ultimo aggiornamento il 19/01/2008