Parabola verticale per tre punti
L'idea di questa costruzione nasce da una discussione sul forum di Geogebra. Al di là dell'interesse specifico per Geogebra, in un forum come questo si possono trovare molte idee e spunti interessanti per l'attività didattica.
In tutti i software di geometria dinamica è presente la macro costruzione di una conica per 5 punti dati del piano, in quanto si tratta di una costruzione di base nella teoria delle coniche. Il fatto che occorrano esattamente 5 punti distinti per tracciare una conica nel piano è legato, come è ben noto, alla presenza di 5 parametri indipendenti nella sua equazione generale: \[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\,.\] Nel caso di coniche particolari, o in posizioni particolari, possono naturalmente bastare meno punti: per esempio per la circonferenza bastano tre punti (non allineati). Vogliamo qui trattare il caso della parabola di cui sia nota la direzione dell'asse (esempio parabola con asse parallelo all'asse \(y\)).
L'idea della costruzione si basa sulla seguente proprietà di simmetria delle parabole.
Il luogo dei punti medi di corde di una parabola, tutte parallele ad una stessa retta \(r\), appartengono ad una parallela all'asse della parabola, detta diametro coniugato della direzione \(r\).
Siano allora dati tre punti \(A,B,C\) nel piano. Individueremo altri due punti \(A'\) e \(C'\) della parabola, per poi costruire la parabola come conica per 5 punti. La tecnica è riassunta nei passi che seguono, e visualizzata nella figura subito dopo.
- Costruiamo il punto medio, \(M\), del segmento \(BC\).
- Per \(M\) tiriamo la parallela, \(r\), all'asse della parabola (l'asse delle \(y\) nel nostro caso).
- Per \(A\) tiriamo la parallela, \(s\), al segmento \(BC\).
- Indichiamo con \(T\) il punto di intersezione tra \(r\) ed \(s\,:\,T=r\cap s\).
- Il simmetrico \(A'\) di \(A\), rispetto a \(T\) è un punto della parabola.
- Ripetiamo la costruzione individuando il punto medio \(M'\) di \(AB\); la parallela, \(r'\), all'asse della parabola; la parallela per \(C\) al segmento \(AB\); infine il punto \(T'=r'\cap s'\). Il punto \(C'\), simmetrico di \(C\) rispetto a \(T'\), sta sulla parabola.
Puoi anche visualizzare una versione dinamica di questa figura, costruita con Geogebra.