La somma delle radici n-esime dell'unità

Le radici $n$-esime dell'unità, nel campo complesso, hanno molte interessanti proprietà. Qui vogliamo porre l'attenzione sul fatto che la loro somma, per ogni $n$ fissato, è nulla. La cosa si può provare algebricamente, per calcolo diretto, ma ci pare molto più interessante la dimostrazione geometrica che qui vogliamo proporre.

Costruite le $n$ radici e i loro vettori rappresentativi, basta fare la somma di questi $n$ vettori per verificare che la loro somma è nulla. La cosa è molto semplice se si usa la regola del "testa-coda": si trasportano successivamente i diversi vettori, nell'ordine e a partire dal secondo, sulla punta del precedente, come evidenziato nella figura che segue, riferita al caso $n=5$. La costruzione è elementare e non richiede spiegazioni ulteriori.

Puoi anche visualizzare una versione dinamica di questa figura, costruita con Geogebra.