LaTeX e Geogebra
Le interazioni tra Geogebra e LaTeX sono di due tipi:
- la possibilità di esportare le costruzioni geometriche in formato PSTrick, producendo un file .tex già pronto per la compilazione (pur di avere una versione abbastanza recente dei packages collegati a PSTricks);
- la possibilità di inserire testi che utilizzino la sintassi di LaTeX nel foglio di lavoro di Geogebra.
In questa sede vogliamo occuparci esclusivamente del secondo caso. Naturalmente la prima applicazione di questa caratteristica del software è quella di creare fogli di lavoro gradevoli nell'aspetto, dove anche le formule sono scritte come è abitudine nei testi matematici. Le due immagini che seguono, interamente costruite con Geogebra, mostrano alcuni usi elementari.
Qui però vogliamo occuparci della possibilità di sfruttare questa caratteristica del software per costruire interessanti applicazioni didattiche. Proporremo alcun i esempi.
Somme e prodotti di matrici
Se consideriamo due matrici \(A\) e \(B\), \(2\times 2\), ne possiamo fare sia la somma che il prodotto, ottenendo ancora matrici \(2\times 2\). Consideriamo un esempio.
\[\left(\begin{array}{rr}1&2\\3&-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}2&-1\\1&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}4&-7\\5&0\end{array}\right)\quad,\quad \left(\begin{array}{rr}1&2\\3&-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}2&-1\\1&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3&1\\4&-4\end{array}\right)\]
Utilizzando Geogebra si può rendere dinamico questo calcolo, variando i dati ingresso nelle due matrici mediante degli slider.
Premettiamo una osservazione sulla scrittura di testi dinamici in Geogebra, considerando un esempio elementare. Supponiamo di aver creato uno slider dal nome "t", variabile entro certi limiti. Se vogliamo inserire un testo che mostri il valore di t, unitamente, per esempio, all'indicazione "Il valore di t è: ", dobbiamo inserire il codice che segue nella finestra di inserimento testo.
"Il valore di t è: " + t +
"."
In sostanza le parti testuali devono essere racchiuse tra doppi apici, le parti dinamiche (variabili di Geogebra) devono essere inserite con il loro nome, senza apici; le parti testuali e le variabili dinamiche vengono concatenate con il segno "+". Si noti che anche lo spazio dopo i due punti e il punto finale della frase sono inseriti tra doppi apici, in quanto si tratta di puro testo.
Nel caso che ci interessa creeremo 8 slider, dai nomi
\(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},b_{11},b_{12},b_{21},b_{22}\),
corrispondenti agli elementi delle due matrici \(A\) e \(B\) e
due testi, uno per il prodotto delle due matrici e uno per la
somma. Possiamo scegliere se fare i calcoli per ottenere la
somma o il prodotto utilizzando nuove variabili, oppure se farli
fare direttamente nelle caselle di testo. A mo'
d'esempio seguiremo la prima strada per il prodotto e la
seconda per la somma. Per sveltire la scrittura del codice
possiamo anche usare un nome "provvisorio" più
semplice per gli elementi della matrice, e poi cambiarlo in
quello "ufficiale" quando tutto è sistemato:
Geogebra si incaricherà di fare tutte le modifiche
incrociate. Per esempio per scrivere \(a_{11}\) dovremmo
inserire a_{11}: scrivendo a
risparmieremo un bel po' di tempo e fatica. Useremo dunque i
nomi a,b,c,d,e,f,g,h per gli elementi delle due
matrici in ingesso.
Il codice LaTeX per ciascuna apparirebbe come di seguito:
\left(\begin{array}{rr}
a&b\\
c&d\\
\end{array}\right)
Nel nostro caso dobbiamo tenere conto che tutto, tranne le
variabili a,b,c,d, deve essere racchiuso tra apici
doppi. Osservando che dobbiamo scrivere le due matrici in
ingresso, separate dal segno + di addizione, e la matrice in
uscita, i cui elementi saranno le somme degli elementi delle due
matrici in ingresso, otterremo il seguente codice (che
può essere scritto su una sola riga, mentre qui abbiamo
usato le interruzioni di riga per una migliore comprensione):
"\left(\begin{array}{rr}"
+a+"&"+b+"\\"
+c+"&"+d+"\\
\end{array}\right)+
\left(\begin{array}{rr}"
+e+"&"+f+"\\"
+g+"&"+h+"\\
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rr}"
+(a+e)+"&"+(b+f)+"\\"
+(c+g)+"&"+(d+h)+"\\
\end{array}\right)"
Potete fare un copia e incolla per provare (dopo aver definito gli slider!) e non dimenticandovi di spuntare la casella "formula LaTeX" che compare nella finestra di inserimento. Osservate che le operazioni da eseguire per il calcolo della somma sono state messe tra parentesi, altrimenti Geogebra scriverà i valori delle variabili una accanto all'altro secondo eseguire la somma.
Come già accennato, per il prodotto eseguiremo i calcoli con nuove variabili, per semplificare il codice da scrivere nella casella di testo. Dunque nella finestra di input algebrico scriveremo, in successione,
-
p=a*e+b*g -
q=a*f+b*h -
r=c*e+d*g -
s=c*f+d*h
A questo punto siamo pronti per inserire il codice relativo al prodotto delle due matrici.
"\left(\begin{array}{rr}"
+a+"&"+b+"\\"
+c+"&"+d+"\\
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{rr}"
+e+"&"+f+"\\"
+g+"&"+h+"\\
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rr}"
+p+"&"+q+"\\"
+r+"&"+s+"\\
\end{array}\right)"
Potete vedere il risultato ottenuto nella pagina Somma e prodotto di due matrici, in cui abbiamo anche inserito alcune altre caselle di testo per rendere più facile lettura. Abbiamo anche inserito il codice per produrre il prodotto delle due matrici in ordine inverso, per verificare la non commutatività del prodotto tra matrici.
Sistemi lineari
Come secondo esempio delle interazioni possibili tra LaTeX e Geogebra proponiamo un'animazione relativa alla risoluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite.
In questo caso vogliamo anche sfruttare le capacità grafiche di Geogebra, per cui oltre alla scrittura formale del sistema utilizzando codice LaTeX, potremo anche visualizzare la variazione delle rette corrispondenti e la loro eventuale intersezione, che costituisce la soluzione del sistema.
Il sistema può essere scritto nella forma:
\[\left\{\begin{array}{rcrcr}a_{11}x&+&a_{12}y&=&b_1\\a_{21}x&+&a_{22}y&=&b_2 \end{array}\right.\]
e la sua trascrizione in codice adatto alla casella di testo Geogebra è ormai immediata:
"\left\{\begin{array}{rcrcr}"
+ a_{11} + "x&+&" + a_{12} +
"y&=&" + b_1 + "\\"
+ a_{21} + "x&+&" + a_{22} +
"y&=&" + b_2 + "
\end{array}\right."
Puoi vedere il risultato finale nella pagina sui Sistemi lineari.
Determinante di una matrice 3x3
Il determinante di una matrice \(3\times 3\) può essere calcolato con la regola di Laplace, sviluppando secondo gli elementi della prima riga. Si ottiene:
\[\mathrm{det}\left(\begin{array}{rrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right)=a_{11}(-1)^2\cdot\mathrm{det}\left(\begin{array}{rr}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{array}\right)+a_{12}(-1)^3\cdot\mathrm{det}\left(\begin{array}{rr}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right)+a_{13}(-1)^4\cdot\mathrm{det}\left(\begin{array}{rr}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{array}\right)=\]
\[=a_{11}\cdot(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}\cdot(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}\cdot(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\,.\]
Anche ora la trascrizione in codice adatto a una casella di testo Geogebra è immediato, seppure richieda un po' di attenzione per separare accuratamente le variabili (corrispondenti agli slider), dal testo della formula LaTeX. Lo riportiamo qui di seguito, per completezza.
"\left|\begin{array}{rrr}"
+ a_{11} + "&" + a_{12} + "&" +
a_{13} + "\\"
+ a_{21} + "&" + a_{22} + "&" +
a_{23} + "\\"
+ a_{31} + "&" + a_{32} + "&" +
a_{33} + "
\end{array}\right|
=(" + a_{11} +
")(-1)^2\left|\begin{array}{rr}"
+ a_{22} + "&" + a_{23} + "\\"
+ a_{32} + "&" + a_{33} + "
\end{array}\right|
+(" + a_{12} +
")(-1)^3\left|\begin{array}{rr}"
+ a_{21} + "&" + a_{23} + "\\"
+ a_{31} + "&" + a_{33} + "
\end{array}\right|
+(" + a_{13} +
")(-1)^4\left|\begin{array}{rr}"
+ a_{21} + "&" + a_{22} + "\\"
+ a_{31} + "&" + a_{32} + "
\end{array}\right|=
(" + a_{11} + ")\cdot(" + (a_{22} a_{33} - a_{23}
a_{32}) + ")
-(" + a_{12} + ")\cdot(" + (a_{21} a_{33} -
a_{23} a_{31}) + ")
+(" + a_{13} + ")\cdot(" + (a_{21} a_{32} -
a_{22} a_{31}) + ")="
+ (a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) -
a_{12} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) +
a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})) + "."
Puoi vedere il risultato finale nella pagina Determinante di una matrice 3x3.