Il libro I degli Elementi di Euclide
Riportiamo in questa pagina la traduzione di una parte del libro
I degli Elementi di Euclide: tralasceremo la dimostrazione delle
proposizioni che si può trovare nella splendida edizione
integrale (in lingua inglese) degli Elementi reperibile
all'indirizzo http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html.
In questa edizione potrete trovare anche accurati commenti alle
definizioni e ai teoremi, nonché la possibilità di
verificare tramite figure dinamiche le varie asserzioni.
Scopo di questa presentazione è mostrare il rigore con
cui ogni asserto e ogni proprietà degli enti studiati
sono analizzati, nonché verificare che la maggior parte
dei testi di geometria in uso nelle nostre scuole non è
altro che una rielaborazione di quanto Euclide scrisse circa nel
300 a.C. E' chiaro che molta strada è stata fatta
dopo la "pubblicazione" degli Elementi, ma essi
rimangono un pilastro nella storia del pensiero scientifico e ci
pare utile che tutti gli studenti di geometria abbiano almeno
un'idea sommaria di un'opera così importante.
Il libro inizia senza alcuna introduzione o spiegazione,
entrando direttamente nel vivo della questione. Esso contiene:
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23 Definizioni
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5 Postulati
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5 Assiomi o Nozioni comuni
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48 Proposizioni o Teoremi
La lista delle Definizioni introduce tutti i termini
che saranno oggetto di studio del libro I. Poiché gli
Elementi sono un esempio (il primo della storia) di
sistema assiomatico, devono iniziare con una lista di tutti i
termini che saranno utilizzati. I termini proposti sono divisi
in due parti: quelli primitivi (i primi 7) e quelli
derivati (i successivi 16). I termini primitivi
dovrebbero in realtà solo essere elencati: Euclide
propone invece una "spiegazione", seppure intuitiva,
del loro significato, in termini di concetti fisici comuni. Non
è chiaro se egli si rendesse perfettamente conto
dell'inutilità di queste "spiegazioni"
oppure no: in ogni caso questa discussione esula dagli scopi di
questa breve presentazione.
Euclide adotta la distinzione tra Postulati e
Assiomi, già proposta da Aristotele: i primi si
applicano specificamente alla scienza in questione (in questo
caso la geometria), i secondi sono invece applicabili a tutte le
scienze.
Per quanto riguarda le Proposizioni o Teoremi
è da segnalare che Euclide dimostra anche le
proprietà intuitivamente ovvie: l'esempio più
evidente è già nella prima Proposizione,
dove si dimostra la costruibilità di un triangolo
equilatero a partire da un lato.
Il contenuto del libro
Definizioni
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Un punto è ciò che non ha parti.
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Una linea è lunghezza senza larghezza.
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Gli estremi di una linea sono punti.
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Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai
punti di essa.
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Una superficie è ciò che ha solo lunghezza e
larghezza.
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Gli estremi di una superficie sono linee.
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Una superficie piana è quella che giace ugualmente
rispetto alle rette su di essa.
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Un angolo piano è l'inclusione reciproca di due
linee in un piano le quali si incontrino e non giacciano in
linea retta.
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Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette,
l'angolo è detto rettilineo.
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Quando una retta innalzata da un'altra retta forma con
essa angoli adiacenti tra di loro uguali, ciascuno dei due
angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a
quella su cui è innalzata.
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Dicesi ottuso l'angolo maggiore di un angolo retto.
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Dicesi acuto l'angolo minore di un angolo retto.
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Dicesi termine ciò che è estremo di qualche
cosa.
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Dicesi figura ciò che è compreso da uno o
più termini.
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Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un'unica
linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a
partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura
siano uguali tra loro.
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E quel punto si chiama centro del cerchio.
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Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro
e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del
cerchio, e tale linea retta taglia anche il cerchio a
metà.
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Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla
circonferenza tagliata da esso, e centro del semicerchio
è quello stesso che è anche centro del cerchio.
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Diconsi rettilinee le figure delimitate da rette, essendo
figure trilatere quelle delimitate da tre rette, qudrilatere
quelle delimitate da quattro rette, e multilatere quelle
delimitate da più di quattro rette.
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Delle figure trilatere dicesi triangolo equilatero quella che
ha i tre lati uguali, isoscele quella che ha due lati uguali
e scaleno quella che ha i tre lati disuguali.
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Ancora delle figure trilatere, un triangolo rettangolo
è quella che ha un angolo retto, un triangolo
ottusangolo quella cha ha un angolo ottuso, un triangolo
acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.
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Delle figure quadrilatere un quadrato è quella che ha
sia i lati uguali che gli angoli retti; un oblungo
(rettangolo) è quella che ha gli angoli retti ma non
è equilatera; un rombo è quella che è
equilatera ma non ha gli angoli retti; un romboide è
quella che ha gli angoli e i lati opposti tra di loro uguali,
ma non è equilatera né ha gli angoli retti. I
quadrilateri diversi da questi sono chiamati trapezi.
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Parallele sono quelle linee rette giacenti nello stesso piano
che, prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non
si incontrano tra loro da nessuna delle due parti.
Postulati
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E' possibile condurre una linea retta da un qualsiasi
punto ad ogni altro punto.
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E' possibile prolungare illimitatamente una linea retta
finita in linea retta.
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E' possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e
raggio.
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Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
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Se, in un piano, una retta interseca altre due rette,
formando con esse, da una medesima parte, angoli interni la
cui somma è minore di due angoli retti, allora queste
due rette, se indefinitamente prolungate, si incontrano dalla
parte detta.
Assiomi (Nozioni comuni)
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Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro.
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Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora i totali
sono uguali.
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Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora i resti sono
uguali.
-
Cose che si possono sovrapporre una con l'altra sono
uguali.
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Il tutto è maggiore della parte.
Proposizioni (Teoremi)
-
E' possibile costruire un triangolo equilatero su un dato
segmento (letteralmente Euclide usa il termine linea retta
finita, o semplicemente linea retta, per indicare quello che
noi chiamiamo segmento; per indicare una retta nel nostro
senso Euclide usa il termine linea retta infinita).
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E' possibile costruire una linea retta uguale ad una data
linea retta, con un estremo in un punto dato.
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E' possibile tagliare dalla più grande di due
linee rette disuguali una linea retta uguale alla più
piccola.
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Se due triangoli hanno due lati uguali rispettivamente a due
lati, e hanno uguali gli angoli contenuti tra le due linee
rette uguali, allora hanno anche la base uguale alla base, il
primo triangolo uguaglia l'altro triangolo, e gli angoli
rimanenti, cioè quelli opposti ai lati uguali, sono
rispettivamente uguali.
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In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali tra
loro e se le linee rette uguali sono ulteriormente
prolungate, allora gli angoli sotto la base sono uguali.
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Date due linee rette costruite a partire dagli estremi di una
linea retta e che si incontrino in un punto, non è
possibile costruire dagli stessi estremi della stessa linea
retta, e dalla stessa parte, altre due linee rette che si
incontrino in un diverso punto e che siano uguali alle due
precedenti, più precisamente ciascuna uguale a quella
tracciata dallo stesso estremo.
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Se in triangolo due angoli sono tra di loro uguali, allora i
lati opposti agli angoli uguali sono anche tra di loro
uguali.
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Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati
rispettivamente, e hanno anche la base uguale alla base,
allora hanno uguali anche gli angoli che sono compresi tra le
linee rette uguali.
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E' possibile bisecare un dato angolo rettilineo.
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E' possibile bisecare una data linea retta finita.
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E' possibile costruire una linea retta formante angoli
retti con una data linea retta, a partire da un punto di
questa.
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E' possibile costruire una linea retta perpendicolare ad
una data linea retta infinita, a partire da un punto dato non
su di essa.
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Se una linea retta è condotta a partire da una data
linea retta, allora fa o due angoli retti, o due angoli la
cui somma è due angoli retti.
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Se, data una linea retta e un punto su di essa, due linee
rette condotte da quel punto e non giacenti dalla stessa
parte, formano angoli adiacenti la cui somma è due
retti, allora le due linee rette stanno su una stessa linea
retta.
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Se due linee rette si tagliano una con l'altra, allora
formano angoli al vertice uguali tra di loro.
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Corollario: Se due linee rette si tagliano una con
l'altra, allora formano angoli al vertice uguali a
quattro angoli retti.
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In qualsiasi triangolo, se uno dei lati è prolungato,
allora l'angolo esterno è più grande degli
angoli interni ed opposti.
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In ogni triangolo la somma di due angoli qualsiasi è
minore di due angoli retti.
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In ogni triangolo l'angolo opposto a lato maggiore
è maggiore.
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In ogni triangolo il lato opposto ad angolo maggiore è
maggiore.
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In ogni triangolo la somma di due lati qualunque è
maggiore del rimanente.
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Se dagli estremi di uno dei lati di un triangolo si
costruiscono due linee rette che si incontrano dentro il
triangolo, allora la somma delle due linee rette costruite
è minore della somma degli altri due lati del
triangolo, ma le linee costruite racchiudono un angolo che
è più grande dell'angolo racchiuso dai due
lati rimanenti.
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Per costruire un triangolo su tre linee rette uguali a tre
linee rette date è necessario che la somma di due
qualunque delle linee rette sia più grande della linea
rimanente.
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E' possibile costruire un angolo rettilineo, uguale ad un
dato angolo rettilineo, su una data linea retta e con vertice
swu di essa.
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Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati
rispettivamente, ma hanno uno degli angoli contenuti dalle
linee rette uguali più grande dell'altro, hanno
anche la base più grande della base.
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Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati
rispettivamente, ma hanno la base più grande della
base, hanno anche uno degli angoli racchiusi dalle due linee
rette uguali più grande dell'altro.
-
Se due triangoli hanno due angoli uguali a due angoli
rispettivamente, e un lato uguale a un lato, precisamente o
il lato che congiunge gli angoli uguali, o quello opposto a
uno degli angoli uguali, allora i rimanenti lati e il
rimanente lato sono uguali.
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Se una linea retta che interseca due linee rette individua
angoli alterni uguali, allora le linee rette sono parallele
tra di loro.
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Se una linea retta che interseca due linee rette individua
l'angolo esterno uguale all'angolo interno ed opposto
sullo stesso lato, o la somma degli angoli interni sullo
stesso lato uguale a due angoli retti, allora le linee rette
sono tra di loro parallele.
-
Una linea retta che interseca due linee rette parallele
individua angoli alterni uguali tra di loro, l'angolo
esterno uguale all'angolo interno ed opposto, e la somma
degli angoli interni sullo stesso lato uguale a due angoli
retti.
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Linee rette parallele alla stessa linea retta sono anche
parallele tra di loro.
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E' possibile costruire una linea retta per un dato punto
e parallela ad una data linea retta.
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In ogni triangolo, se uno dei lati è prolungato,
allora l'angolo esterno uguaglia la somma dei due angoli
interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del
triangolo è uguale a due angoli retti.
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Linee rette che congiungono gli estremi di linee rette uguali
e parallele, sono anch'esse uguali e parallele.
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Nei parallelogrammi i lati e gli angoli opposti sono uguali
tra di loro, e il diametro biseca la regione.
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Parallelogrammi che hanno la stessa base e si trovano
tra le stesse parallele sono tra di loro uguali.
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Parallelogrammi che hanno basi uguali e si trovano tra le
stesse parallele sono uguali tra di loro.
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Triangoli che hanno la stessa base e si trovano fra le stesse
parallele sono uguali tra di loro.
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Triangoli che hanno basi uguali e si trovano fra le stesse
parallele sono uguali tra di loro.
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Triangoli uguali che hanno la stessa base e si trovano dalla
stessa parte si trovano anche fra le stesse parallele.
-
Triangoli uguali che hanno basi uguali e si trovano dalla
stessa parte si trovano anche fra le stesse parallele.
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Se un parallelogramma ha la stessa base di un triangolo e si
trova fra le stesse parallele, allora il parallelogramma
è doppio del triangolo.
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E' possibile costruire un parallelogramma uguale ad un
dato triangolo in un dato angolo rettilineo.
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In un parallelogramma i complementi dei parallelogrammi sul
diametro sono uguali tra di loro. (Questo è un Teorema
che richiede una precisazione sulle notazioni; si deve
leggere nel seguente modo: Dato un parallelogramma
ABCD e considerato sulla diagonale AC un
punto K, si tirino per esso le parallele ai lati,
che incontrano AB in E, BC in
G, CD in F, AD in
H. Allora i parallelogrammi EBGK e
HKFD sono uguali. Questi parallelogrammi sono i
complementi dei parallelogrammi di diagonali AK e
KC rispettivamente).
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E' possibile costruire un parallelogramma uguale ad un
dato triangolo, con una data linea retta e un dato angolo
rettilineo.
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E' possibile costruire un parallelogramma uguale ad una
data figura rettilinea, con un dato angolo rettilineo.
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E' possibile costruire un quadrato su una data linea
retta.
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In triangoli rettangoli il quadrato sul lato opposto
all'angolo retto uguaglia la somma dei quadrati sui lati
contenenti l'angolo retto.
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Se in triangolo il quadrato di uno dei lati uguaglia la somma
dei quadrati degli altri due lati del triangolo, allora
l'angolo compreso tra gli altri due lati è retto.
copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia
pagina pubblicata il 18/03/2004 - ultimo aggiornamento il
01/12/2011