Il libro I degli Elementi di Euclide
Riportiamo in questa pagina la traduzione di una parte del libro I degli Elementi di Euclide: tralasceremo la dimostrazione delle proposizioni che si può trovare nella splendida edizione integrale (in lingua inglese) degli Elementi reperibile all'indirizzo http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html. In questa edizione potrete trovare anche accurati commenti alle definizioni e ai teoremi, nonché la possibilità di verificare tramite figure dinamiche le varie asserzioni.
Scopo di questa presentazione è mostrare il rigore con cui ogni asserto e ogni proprietà degli enti studiati sono analizzati, nonché verificare che la maggior parte dei testi di geometria in uso nelle nostre scuole non è altro che una rielaborazione di quanto Euclide scrisse circa nel 300 a.C. E' chiaro che molta strada è stata fatta dopo la "pubblicazione" degli Elementi, ma essi rimangono un pilastro nella storia del pensiero scientifico e ci pare utile che tutti gli studenti di geometria abbiano almeno un'idea sommaria di un'opera così importante.
Il libro inizia senza alcuna introduzione o spiegazione, entrando direttamente nel vivo della questione. Esso contiene:
- 23 Definizioni
- 5 Postulati
- 5 Assiomi o Nozioni comuni
- 48 Proposizioni o Teoremi
La lista delle Definizioni introduce tutti i termini che saranno oggetto di studio del libro I. Poiché gli Elementi sono un esempio (il primo della storia) di sistema assiomatico, devono iniziare con una lista di tutti i termini che saranno utilizzati. I termini proposti sono divisi in due parti: quelli primitivi (i primi 7) e quelli derivati (i successivi 16). I termini primitivi dovrebbero in realtà solo essere elencati: Euclide propone invece una "spiegazione", seppure intuitiva, del loro significato, in termini di concetti fisici comuni. Non è chiaro se egli si rendesse perfettamente conto dell'inutilità di queste "spiegazioni" oppure no: in ogni caso questa discussione esula dagli scopi di questa breve presentazione.
Euclide adotta la distinzione tra Postulati e Assiomi, già proposta da Aristotele: i primi si applicano specificamente alla scienza in questione (in questo caso la geometria), i secondi sono invece applicabili a tutte le scienze.
Per quanto riguarda le Proposizioni o Teoremi è da segnalare che Euclide dimostra anche le proprietà intuitivamente ovvie: l'esempio più evidente è già nella prima Proposizione, dove si dimostra la costruibilità di un triangolo equilatero a partire da un lato.
Il contenuto del libro
Definizioni
- Un punto è ciò che non ha parti.
- Una linea è lunghezza senza larghezza.
- Gli estremi di una linea sono punti.
- Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti di essa.
- Una superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza.
- Gli estremi di una superficie sono linee.
- Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
- Un angolo piano è l'inclusione reciproca di due linee in un piano le quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
- Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette, l'angolo è detto rettilineo.
- Quando una retta innalzata da un'altra retta forma con essa angoli adiacenti tra di loro uguali, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
- Dicesi ottuso l'angolo maggiore di un angolo retto.
- Dicesi acuto l'angolo minore di un angolo retto.
- Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
- Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
- Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un'unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura siano uguali tra loro.
- E quel punto si chiama centro del cerchio.
- Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, e tale linea retta taglia anche il cerchio a metà.
- Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza tagliata da esso, e centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.
- Diconsi rettilinee le figure delimitate da rette, essendo figure trilatere quelle delimitate da tre rette, qudrilatere quelle delimitate da quattro rette, e multilatere quelle delimitate da più di quattro rette.
- Delle figure trilatere dicesi triangolo equilatero quella che ha i tre lati uguali, isoscele quella che ha due lati uguali e scaleno quella che ha i tre lati disuguali.
- Ancora delle figure trilatere, un triangolo rettangolo è quella che ha un angolo retto, un triangolo ottusangolo quella cha ha un angolo ottuso, un triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.
- Delle figure quadrilatere un quadrato è quella che ha sia i lati uguali che gli angoli retti; un oblungo (rettangolo) è quella che ha gli angoli retti ma non è equilatera; un rombo è quella che è equilatera ma non ha gli angoli retti; un romboide è quella che ha gli angoli e i lati opposti tra di loro uguali, ma non è equilatera né ha gli angoli retti. I quadrilateri diversi da questi sono chiamati trapezi.
- Parallele sono quelle linee rette giacenti nello stesso piano che, prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti.
Postulati
- E' possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
- E' possibile prolungare illimitatamente una linea retta finita in linea retta.
- E' possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e raggio.
- Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
- Se, in un piano, una retta interseca altre due rette, formando con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, se indefinitamente prolungate, si incontrano dalla parte detta.
Assiomi (Nozioni comuni)
- Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro.
- Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora i totali sono uguali.
- Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora i resti sono uguali.
- Cose che si possono sovrapporre una con l'altra sono uguali.
- Il tutto è maggiore della parte.
Proposizioni (Teoremi)
- E' possibile costruire un triangolo equilatero su un dato segmento (letteralmente Euclide usa il termine linea retta finita, o semplicemente linea retta, per indicare quello che noi chiamiamo segmento; per indicare una retta nel nostro senso Euclide usa il termine linea retta infinita).
- E' possibile costruire una linea retta uguale ad una data linea retta, con un estremo in un punto dato.
- E' possibile tagliare dalla più grande di due linee rette disuguali una linea retta uguale alla più piccola.
- Se due triangoli hanno due lati uguali rispettivamente a due lati, e hanno uguali gli angoli contenuti tra le due linee rette uguali, allora hanno anche la base uguale alla base, il primo triangolo uguaglia l'altro triangolo, e gli angoli rimanenti, cioè quelli opposti ai lati uguali, sono rispettivamente uguali.
- In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali tra loro e se le linee rette uguali sono ulteriormente prolungate, allora gli angoli sotto la base sono uguali.
- Date due linee rette costruite a partire dagli estremi di una linea retta e che si incontrino in un punto, non è possibile costruire dagli stessi estremi della stessa linea retta, e dalla stessa parte, altre due linee rette che si incontrino in un diverso punto e che siano uguali alle due precedenti, più precisamente ciascuna uguale a quella tracciata dallo stesso estremo.
- Se in triangolo due angoli sono tra di loro uguali, allora i lati opposti agli angoli uguali sono anche tra di loro uguali.
- Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, e hanno anche la base uguale alla base, allora hanno uguali anche gli angoli che sono compresi tra le linee rette uguali.
- E' possibile bisecare un dato angolo rettilineo.
- E' possibile bisecare una data linea retta finita.
- E' possibile costruire una linea retta formante angoli retti con una data linea retta, a partire da un punto di questa.
- E' possibile costruire una linea retta perpendicolare ad una data linea retta infinita, a partire da un punto dato non su di essa.
- Se una linea retta è condotta a partire da una data linea retta, allora fa o due angoli retti, o due angoli la cui somma è due angoli retti.
- Se, data una linea retta e un punto su di essa, due linee rette condotte da quel punto e non giacenti dalla stessa parte, formano angoli adiacenti la cui somma è due retti, allora le due linee rette stanno su una stessa linea retta.
-
Se due linee rette si tagliano una con l'altra, allora
formano angoli al vertice uguali tra di loro.
- Corollario: Se due linee rette si tagliano una con l'altra, allora formano angoli al vertice uguali a quattro angoli retti.
- In qualsiasi triangolo, se uno dei lati è prolungato, allora l'angolo esterno è più grande degli angoli interni ed opposti.
- In ogni triangolo la somma di due angoli qualsiasi è minore di due angoli retti.
- In ogni triangolo l'angolo opposto a lato maggiore è maggiore.
- In ogni triangolo il lato opposto ad angolo maggiore è maggiore.
- In ogni triangolo la somma di due lati qualunque è maggiore del rimanente.
- Se dagli estremi di uno dei lati di un triangolo si costruiscono due linee rette che si incontrano dentro il triangolo, allora la somma delle due linee rette costruite è minore della somma degli altri due lati del triangolo, ma le linee costruite racchiudono un angolo che è più grande dell'angolo racchiuso dai due lati rimanenti.
- Per costruire un triangolo su tre linee rette uguali a tre linee rette date è necessario che la somma di due qualunque delle linee rette sia più grande della linea rimanente.
- E' possibile costruire un angolo rettilineo, uguale ad un dato angolo rettilineo, su una data linea retta e con vertice swu di essa.
- Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, ma hanno uno degli angoli contenuti dalle linee rette uguali più grande dell'altro, hanno anche la base più grande della base.
- Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, ma hanno la base più grande della base, hanno anche uno degli angoli racchiusi dalle due linee rette uguali più grande dell'altro.
- Se due triangoli hanno due angoli uguali a due angoli rispettivamente, e un lato uguale a un lato, precisamente o il lato che congiunge gli angoli uguali, o quello opposto a uno degli angoli uguali, allora i rimanenti lati e il rimanente lato sono uguali.
- Se una linea retta che interseca due linee rette individua angoli alterni uguali, allora le linee rette sono parallele tra di loro.
- Se una linea retta che interseca due linee rette individua l'angolo esterno uguale all'angolo interno ed opposto sullo stesso lato, o la somma degli angoli interni sullo stesso lato uguale a due angoli retti, allora le linee rette sono tra di loro parallele.
- Una linea retta che interseca due linee rette parallele individua angoli alterni uguali tra di loro, l'angolo esterno uguale all'angolo interno ed opposto, e la somma degli angoli interni sullo stesso lato uguale a due angoli retti.
- Linee rette parallele alla stessa linea retta sono anche parallele tra di loro.
- E' possibile costruire una linea retta per un dato punto e parallela ad una data linea retta.
- In ogni triangolo, se uno dei lati è prolungato, allora l'angolo esterno uguaglia la somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due angoli retti.
- Linee rette che congiungono gli estremi di linee rette uguali e parallele, sono anch'esse uguali e parallele.
- Nei parallelogrammi i lati e gli angoli opposti sono uguali tra di loro, e il diametro biseca la regione.
- Parallelogrammi che hanno la stessa base e si trovano tra le stesse parallele sono tra di loro uguali.
- Parallelogrammi che hanno basi uguali e si trovano tra le stesse parallele sono uguali tra di loro.
- Triangoli che hanno la stessa base e si trovano fra le stesse parallele sono uguali tra di loro.
- Triangoli che hanno basi uguali e si trovano fra le stesse parallele sono uguali tra di loro.
- Triangoli uguali che hanno la stessa base e si trovano dalla stessa parte si trovano anche fra le stesse parallele.
- Triangoli uguali che hanno basi uguali e si trovano dalla stessa parte si trovano anche fra le stesse parallele.
- Se un parallelogramma ha la stessa base di un triangolo e si trova fra le stesse parallele, allora il parallelogramma è doppio del triangolo.
- E' possibile costruire un parallelogramma uguale ad un dato triangolo in un dato angolo rettilineo.
- In un parallelogramma i complementi dei parallelogrammi sul diametro sono uguali tra di loro. (Questo è un Teorema che richiede una precisazione sulle notazioni; si deve leggere nel seguente modo: Dato un parallelogramma ABCD e considerato sulla diagonale AC un punto K, si tirino per esso le parallele ai lati, che incontrano AB in E, BC in G, CD in F, AD in H. Allora i parallelogrammi EBGK e HKFD sono uguali. Questi parallelogrammi sono i complementi dei parallelogrammi di diagonali AK e KC rispettivamente).
- E' possibile costruire un parallelogramma uguale ad un dato triangolo, con una data linea retta e un dato angolo rettilineo.
- E' possibile costruire un parallelogramma uguale ad una data figura rettilinea, con un dato angolo rettilineo.
- E' possibile costruire un quadrato su una data linea retta.
- In triangoli rettangoli il quadrato sul lato opposto all'angolo retto uguaglia la somma dei quadrati sui lati contenenti l'angolo retto.
- Se in triangolo il quadrato di uno dei lati uguaglia la somma dei quadrati degli altri due lati del triangolo, allora l'angolo compreso tra gli altri due lati è retto.