In volo da Napoli a New York
Napoli e New York, si sa, sono situati approssimativamente sullo stesso parallelo (un po' più in alto del quarantesimo). Che rotta seguirebbe un volo diretto se dovesse cercare il minimo percorso? Prendiamo in mano il planisfero politico del nostro atlante geografico e ci accorgiamo subito che la via più breve è (o sembra essere?) proprio il parallelo, tracciato quasi come una linea retta sul nostro atlante.
Per essere sicuri rispolveriamo però il nostro vecchio mappamondo e, trovate le due città, proviamo a tendere un elastico tra di esse, appoggiandolo sul mappamondo stesso. Sorpresa: l'elastico non si dispone affatto lungo il parallelo in questione, ma passa molto più a Nord, andando a toccare addirittura il trentesimo parallelo. La nostra speranza di vedere Madrid (che si trova sempre sul quarantesimo parallelo) dall'alto durante il volo è andata in fumo!
Questa prova ci fa venire la voglia di sperimentare con il nostro elastico sul mappamondo, provando a congiungere altre coppie di città, e ci accorgiamo subito che, in molte situazioni, la linea di minima distanza si discosta notevolmente dal parallelo. L'unico parallelo "privilegiato" è l'equatore. L'osservazione che anche le città situate sullo stesso meridiano vengono congiunte da un elastico che si dispone proprio sul meridiano, ci fa capire qual è la soluzione: l'elastico si dispone sempre lungo un arco di cerchio massimo.
Questa sperimentazione sul mappamondo è molto istruttiva e si possono trovare altre importanti novità. Supponiamo di prendere tre città anziché due e di tendere un elastico tra di esse a due a due: la figura che otterremo sarà un triangolo sulla sfera. Ebbene, è sufficiente usare un normale goniometro, per rendersi conto che la somma degli angoli interni di questo triangolo è maggiore di 180°! Eppure un essere bidimensionale (del tipo di quelli che vivono su Flatland) accetterebbe senza dubbio la definizione di triangolo per questa figura, che è costruita proprio come facevano i "tenditori di corde" egiziani quando volevano ricostruire i confini dei terreni coperti dalle esondazioni del Nilo.
Ma la sperimentazione sul triangolo è ancora più interessante. Se si prendono come "vertici" il polo Nord e due punti sull'equatore, allora i "lati" saranno un pezzo di equatore e due mezzi meridiani, e si vede subito che la somma degli angoli interni non solo è maggiore di 180°, ma addirittura variabile (basta muovere i due punti sull'equatore).
Insomma la geometria del piano non è l'unica possibile e su superfici diverse la geometria può essere notevolmente diversa.