1 km a Sud - 1 km a Est - 1 km a Nord
Il titolo richiama un famoso indovinello.
Se, partendo da un certo punto, si fa un chilometro a Sud, 1 km a Est e 1 km a Nord ritornando al punto di partenza, da dove si era partiti?
La risposta più ovvia è: dal Polo Nord. Ma esistono infinite altre possibilità. Consideriamo infatti, a partire dal Polo Sud, il parallelo lungo 1 km, quello lungo 1/2 km, quello lungo 1/3 di km e così via. Se consideriamo un punto 1 km più a Nord rispetto ai paralleli indicati e scendiamo a Sud per 1 km lungo un meridiano, facciamo 1 giro (o rispettivamente 2 giri, 3 giri, ecc.) sui paralleli e ritorniamo 1 km a Nord, torneremo ovviamente al punto di partenza. Il problema ha dunque infinite soluzioni.
L'indovinello è molto istruttivo e ci fa vedere come la geometria sulla sfera sia completamente diversa rispetto a quella sull'ordinario piano euclideo.
C'è qualche ulteriore osservazione che si può fare a proposito di questa storiella. Il percorso indicato, a partire dal Polo Nord, produce una figura che, a prima vista, potrebbe sembrare un triangolo (sferico ovviamente!). I km a Sud e a Nord sono percorsi lungo due meridiani, mentre il km a Est è percorso lungo un parallelo. Ora, mentre i meridiani sono cerchi massimi sulla sfera, la cosa non è vera per i paralleli, che difatti hanno lunghezze via via decrescenti man mano che ci allontaniamo dall'equatore. E' chiaro che se vogliamo estendere il concetto di triangolo dal piano alla sfera, dobbiamo prima estendere quello di retta. L'idea più naturale è quella di considerare la "proprietà" fondamentale di una retta nel piano, cioè quella che ogni suo segmento è il percorso di minima distanza tra gli estremi. Ebbene questa proprietà è goduta sulla sfera dagli archi di cerchio massimo e non dagli altri archi di cerchio, come i paralleli.
E' anche istruttivo cercare di capire come si può estendere il concetto di punto sulla sfera: anche qui dobbiamo cercare di fare in modo che rimangano valide, per quanto possibile, le proprietà essenziali che legano il punto agli altri enti geometrici, tra cui ci pare irrinunciabile quella che per due punti distinti passa una sola retta. Se il punto fosse un ordinario punto come quello sul piano, per due punti diametralmente opposti passerebbero infiniti cerchi massimi che, come abbiamo visto sopra sono i migliori candidati ad essere chiamati rette sulla sfera. Non vogliamo qui entrare nei dettagli del problema, ma la soluzione è: un punto sulla sfera è una coppia di punti diametralmente opposti. Non è difficile provare che in questo modo per due punti distinti passa una sola retta, cioè un solo cerchio massimo. Ancora una volta la geometria sulla sfera ci rivela aspetti sorprendenti.
In ogni caso è da segnalare che il concetto di retta che abbiamo introdotto prima ha differenze non trascurabili rispetto alla retta della geometria piana. Per esempio queste rette hanno lunghezza finita e inoltre dati tre punti distinti su una retta non è possibile stabilire quale dei tre sta tra gli altri due.
A questo punto potremmo chiederci: Visto che viviamo su una sfera, come mai abbiamo sviluppato invece una accurata geometria del piano, che non abbiamo alcun modo di sperimentare direttamente? La risposta è molto complessa e ci porterebbe troppo lontano …. Chi vuole ulteriormente approfondire l'argomento può leggere la pagina sulla geometria di Riemann.