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Le circonferenze per un punto e tangenti a due rette date

Dati un punto A e due rette r ed s,  proponiamo tre soluzioni per trovare le circonferenze tangenti alle rette e passanti per il punto: la prima riconduce questo problema al caso in cui siano dati due punti ed una retta, la seconda, applicabile se le due rette sono concorrenti, si basa sul concetto di omotetia, la terza sull'inversione circolare.

Prima costruzione

Se le rette sono incidenti ed A non appartiene a nessuna delle due basta considerare il simmetrico, B, di A rispetto alla bisettrice di quell'angolo tra le due rette a cui appartiene A; si trovano poi le circonferenze per A e B, e tangenti ad una delle due rette. Se le rette sono incidenti ed il punto appartiene ad una delle due la costruzione è quasi immediata: basta tracciare le bisettrici dei due angoli individuati dalle rette e la perpendicolare per A alla retta cui appartiene A stesso. Si avranno due circonferenze.

Se le rette sono parallele il problema ha soluzioni solo se il punto A è non esterno alla striscia individuata dalle due rette e basta considerare il simmetrico di A rispetto alla bisettrice della striscia.

Si vedano le figure riportate selezionando i vari casi.

  • Rette incidenti,punto esterno
  • Rette incidenti, punto su una retta
  • Rette parallele,punto esterno
  • Rette parallele, punto su una retta

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Seconda costruzione

Ci limiteremo a considerare solo la situazione standard rappresentata nella figura qui sotto. Date le rette r ed s e il punto A, si consideri una circonferenza qualunque di centro P e tangente alle due rette. La retta OA interseca questa circonferenza in M ed N. Le omotetie di centro O e rapporto OA/OM ed OA/ON trasformano il cerchio di centro P nei due cerchi che sono soluzione del problema. Si può vedere un'animazione che verifica che la scelta di P è ininfluente ai fini della soluzione del problema.

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Terza costruzione

Ci limiteremo a considerare solo la situazione standard in cui le due rette sono incidenti. Date le rette r ed s e il punto A, si consideri un cerchio di inversione di centro A e raggio qualunque (in violetto nella figura). Determinate le circonferenze inverse delle due rette date, si trovino le loro due tangenti comuni: le inverse di queste tangenti comuni sono le circonferenze cercate (in rosso nella figura). Puoi vedere un'animazione con CabriJava.

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pagina pubblicata il 10/11/2001 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003