Sia y=f(x) una funzione definita in un intorno di +∞ (analoghe considerazioni per le funzioni definite in un intorno di -∞). Se la funzione si può decomporre nella somma f(x)=g(x)+h(x) e se , diremo che la y=g(x) è una curva asintotica a f(x), per .
Questa definizione è giustificata dalla seguente osservazione: presi due punti P e Q, rispettivamente sul grafico di f(x) e di g(x), aventi la medesima ascissa, la differenza , , fra le loro ordinate tende a zero al tendere di x a +∞, in perfetta analogia con la definizione di asintoto.
Un esempio è fornito da : y=x2 è una curva asintotica a f(x), per .
Una funzione può avere anche più curve asintotiche.
Si consideri per esempio la funzione . Poiché si può scrivere: , oppure , oppure , si ottiene che f(x) è asintotica a , a , a .
Il caso più importante è quello delle funzioni razionali fratte , essendo N (=anxn+...) e D (=bmxm+...) due polinomi nell'indeterminata x. Per queste funzioni non occorre fare distinzione tra +∞ e -∞ e si può seguire il seguente schema semplificato per la ricerca degli asintoti orizzontali ed obliqui:
Se deg(N)<deg(D), allora , da cui segue che y=0 è asintoto orizzontale.
Se deg(N)=deg(D), allora , da cui è asintoto orizzontale.
Se deg(N)>deg(D), si esegua la divisione tra N e D, ottenendo , con deg(Q)=deg(N)-deg(D) e deg(R)<deg(D). Se ne deduce che y=Q(x) è asintotica a f(x): se deg(Q)=1, si tratta di un asintoto, se deg(Q)>1 si tratta di una curva asintotica.
Come esempio di funzione razionale fratta con curva asintotica si può prendere , che ha come parabola asintotica la y=x2+x+3.