L'insieme di Cantor ha "lunghezza" nulla (nel senso della misura di Lebesgue)
La prova di questo fatto è molto semplice, basta calcolare la lunghezza complessiva dei segmenti che sono stati cancellati per ottenere l'insieme di Cantor e poi tenere conto che l'insieme di partenza aveva, ovviamente, lunghezza 1.
Al primo passo si cancella un segmento di lunghezza 1/3, al secondo due segmenti di lunghezza 1/9, al terzo 4 segmenti di lunghezza 1/27, e così via. Per la lunghezza totale, l, dei segmenti cancellati fino al passo n si avrà dunque:
,
dove per l'ultimo passo abbiamo applicato una formula per le progressioni geometriche (per controllarla cercala sull'indice alfabetico del sito). E' evidente che, se n tende a ∞, la frazione (2/3)n tende a zero, e si ottiene l=1. Se ne deduce, per differenza, che l'insieme di Cantor ha lunghezza 0.