Premessa
In questa monografia proponiamo una raccolta di alcune tra le più importanti costruzioni geometriche con riga e compasso.
L'idea di questo lavoro è nata dalla constatazione della diffusa ignoranza su questo problema, che pure é di grande interesse non solo dal punto di vista storico, ma anche applicativo.
L'abilità nel realizzare costruzioni geometriche con riga e compasso era, fino a non molti anni fa, considerata come una specie di rivelatore delle capacità logico matematiche degli studenti. Poi l'interesse per questo tipo di problemi è andato via via diminuendo, fin quasi a scomparire, con i risultati che sono sotto gli occhi di tutti.
Eppure la diffusione dei software di geometria dinamica avrebbe potuto far rinascere, anche a livello dei programmi scolastici, l'interesse per queste tematiche, vista la rapidità con cui si possono realizzare costruzioni "pulite" anche di figure molto complesse. L'esempio più famoso è costituito dal Problema di Apollonio, consistente nel tracciare le circonferenze tangenti a tre circonferenze date: probabilmente il più difficile tra i problemi classici.
La cosa che ci è parsa più negativa è la mancata conoscenza della insolubilità di alcuni problemi apparentemente "elementari", come la costruzione dell'eptagono regolare inscritto in una circonferenza data: su alcuni testi di disegno geometrico abbiamo trovato addirittura costruzioni diverse, senza alcuna menzione del fatto che si tratta, in ogni caso, di costruzioni approssimate.
A chi volesse approfondire questo argomento, al di là di quello che potremo fare in questa monografia, consigliamo la lettura del classico articolo di Alfredo Sabatini in Questione riguardanti le matematiche elementari, Parte II, art. 13, ed Zanichelli. Recentemente (2001) è poi stato pubblicato un interessantissimo volume: Il problema geometrico, dal compasso al Cabri, di Italo D'Ignazio e Ercole Suppa, Interlinea Editrice, che può essere considerato una specie di enciclopedia di tutto quello che serve sapere per risolvere problemi anche complessi. Ve ne consigliamo caldamente la lettura. Potrete ordinarlo direttamente presso la Libreria Ferretti Carlo, Via Pannella 56, Teramo.
La presente monografia non intende invece trattare questo problema in maniera sistematica ed esaustiva: saranno proposte le costruzioni in cui via via inciamperemo nel corso della nostra attività didattica, o che ci verranno suggerite dagli studenti e dai visitatori del sito. L'effettiva costruibilità delle figure richiede naturalmente che siano soddisfatte certe condizioni sui dati: nelle Cabri costruzioni che proporremo ciò risulta evidente dal fatto che la figura scompare quando le condizioni non sono verificate. Proponiamo come utile esercizio al lettore una discussione analitica di questo interessante problema.
Spesso sono presentate le costruzioni originali di Euclide, tratte dai suoi Elementi, anche se di solito la costruzione è stata semplificata per non appesantire troppo la trattazione.
In molti casi ci sono diverse costruzioni possibili, più o meno "eleganti": noi abbiamo scelto, di solito, quella che utilizza le tecniche più elementari e maggiormente considerate sui testi scolastici di geometria.