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Definizioni e prime proprietà - Esercizi proposti

1. Calcolare, usando la definizione di derivata, la funzione derivata di , precisando anche l'insieme dove la derivata esiste.
2. Si consideri la funzione . Si provi che essa è ovunque continua, ma che non è derivabile nell'origine.
3. Si consideri la funzione . Si prova che essa è continua e derivabile anche nell'origine. Si cerchi di dare una giustificazione intuitiva di questo risultato, anche in confronto con quello dell'esercizio 2, usando un programma per tracciare grafici di funzioni, per esempio Derive™.
4. Si consideri la funzione . Si prova che essa è continua e derivabile solo nell'origine.
5. Si calcoli, usando la definizione di derivata, la derivata delle funzioni seno e arcseno nel punto x=0. Si dica se il risultato ottenuto era prevedibile sulla base della considerazione che, in un intorno di zero, le due funzioni sono una l'inversa dell'altra.
6. Si dica se esistono punti del dominio di , dove il concetto di derivata non ha senso.
7. Si dica in quali punti del dominio la funzione f(x)=|x²-x| non è derivabile. Si può utilizzare un grafico costruito in maniera elementare (oppure con Derive™) per rendersi conto del problema, dopodiché si richiede di fare una esplicita verifica con la definizione di derivata.
8. Si calcoli il limite del rapporto incrementale, relativo al punto x=0, al tendere a zero di Δx, per la funzione . Si dia una giustificazione intuitiva del risultato utilizzando il grafico della funzione costruito con un programma opportuno.

copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia

pagina pubblicata il 01/10/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003