La verifica di limite e gli intorni circolari
Nella definizione di limite ci si può limitare a considerare solo gli intorni circolari di l, anziché esaminare tutti gli intorni.
La dimostrazione è la seguente:
Indichiamo con Cl un arbitario intorno
circolare di l e supponiamo di avere provato che, 
. Consideriamo ora un arbitrario intorno
Ul. Esiste sicuramente un intorno circolare
Cl contenuto in Ul e
allora, in base all'ipotesi, si può trovare un
intorno Uc tale che 
. Ma se f(x) cade in Cl, a
maggior ragione cade anche in Ul: questo
basta per provare che 
.
Questa dimostrazione si può visualizzare graficamente con la successione di immagini proposta qui di seguito.
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| Immagine di partenza | Uno | Due | Tre | Quattro |
