Nella definizione di limite ci si può limitare a considerare solo gli intorni piccoli quanto si vuole di l (R), nel senso che, se necessario, ci si può limitare a considerare solo gli intorni minori di un qualsivoglia numero positivo scelto a piacere
Dimostrazione.
Indichiamo con Al un arbitario intorno di l, di ampiezza minore di un prefissato a (>0) e supponiamo di avere provato che, . Consideriamo ora un arbitrario intorno Ul. Esiste sicuramente un intorno "piccolo" Al contenuto in Ul e allora, in base all'ipotesi, si può trovare un intorno Uc tale che . Ma se f(x) cade in Al, a maggior ragione cade anche in Ul: questo basta per provare che .
Questa dimostrazione si può visualizzare graficamente con la successione di immagini proposta qui di seguito.
Immagine di partenza | Uno | Due | Tre | Quattro |