La numerabilità dei razionali
Il fatto che la cardinalità dei razionali sia la stessa degli interi è abbastanza sorprendente, in quanto, dal punto di vista dell'ordine, si è passati da un insieme "discreto", cioè con punti staccati uno dall'altro, ad un insieme denso, cioè con la caratteristica che tra due numeri qualunque ce ne sono sempre infiniti.
La dimostrazione è comunque molto semplice e si basa su una costruzione diretta di una corrispondenza biunivoca tra Q ed N, con il cosiddetto "metodo diagonale" di Cantor. Ci limiteremo a proporre lo schema, senza entrare nei dettagli. Segnaliamo solo che la corrispondenza che indichiamo comprende solo i razionali positivi, ma la sua estensione ai negativi è ovvia.
Immaginiamo di disporre tutte le coppie di N×{N \ 0} su una tabella come nella figura qui a lato. Associamo ad ogni punto della tabella un numero naturale seguendo il percorso indicato.
E' chiaro che la corrispondenza tra i punti della tabella e i naturali sarà biunivoca. Basta, per concludere, osservare che i razionali sono di meno dei punti della tabella (ma che non possono essere meno dei naturali perché l'insieme N è il più piccolo degli insiemi infiniti).
