Mattoni
I numeri primi sono i naturali n>1, divisibili solo per se stessi e per l'unità. «I numeri primi sono gioielli incastonati nell'immensa distesa dei numeri, l'universo infinito che i matematici esplorano da secoli. Ai matematici i numeri primi infondono un senso di meraviglia: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., numeri senza tempo che esistono in un mondo indipendente dalla nostra realtà fisica. Sono un dono che la natura ha fatto al matematico.» (M.du Sautoy, L'enigma dei numeri primi).
La loro importanza risiede nel fatto che essi permettono di costruire tutti i numeri: ogni numero naturale può essere espresso come prodotto di due o più di questi numeri. In sostanza i numeri primi sono un po' come una Tavola Periodica dei matematici. Eppure questi numeri, nonostante tutte le proprietà che sono state scoperte, restano un oggetto ostico e misterioso, probabilmente tra i più misteriosi per i matematici.
La prova che questi numeri sono i mattoni fondamentali per costruire tutti gli altri numeri prende il nome di Teorema fondamentale dell'aritmetica e si può enunciare nel seguente modo:
Ogni naturale n≥2 si fattorizza in modo unico come prodotto di primi (a meno dell'ordine con cui viene scritto il prodotto).
La dimostrazione consta di due parti: esistenza e unicità della fattorizzazione.
- L'esistenza è praticamente una conseguenza della definizione di numero primo. Possiamo fare una dimostrazione per assurdo, supponendo che esistano numeri che non siano né primi, né prodotto di primi; se indichiamo con q il più piccolo di essi, q, non essendo primo sarà il prodotto di due numeri m ed n che, essendo minori di q, saranno o primi o prodotti di primi. Questo permette di concludere con l'esistenza.
- L'unicità è più delicata da provare e richiede la preventiva dimostrazione che se un primo p divide un prodotto ab, allora divide almeno uno dei fattori a o b (questo fatto può essere provato come una conseguenza dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore di due numeri). Supponiamo allora per assurdo che n sia il risultato di due diverse scomposizioni in fattori primi: n = p1p2p3 p4... = q1q2q3 q4q5... (naturalmente non è affatto richiesto che i p o i q siano diversi tra di loro). Poiché p1 è un divisore del primo membro, deve essere anche un divisore del secondo, cioè di uno dei q; ma i q sono primi, quindi p1 deve essere uguale ad uno dei q: p1 e quel particolare q si cancellano. In questo modo si giunge a cancellare tutti i p del primo membro (dove rimane 1) e i corrispondenti q del secondo. A questo punto a secondo membro non può rimanere alcun q, perché essi sono tutti maggiori di 1. Se ne conclude che la scomposizione è unica.
E' molto importante osservare che l'unicità della
scomposizione richiede il fatto che se un primo p
divide un prodotto ab, allora divide almeno uno dei
fattori a o b. Che la cosa non sia banale
è provato da un controesempio (fornito da Hilbert) di un
"sistema di numeri" in cui la scomposizione non
è unica, proprio per l'assenza di questa
proprietà. Per analizzare il controesempio osserviamo
che, nel problema che stiamo studiando, l'operazione che
conta è la moltiplicazione in N, non
l'addizione. Ebbene consideriamo l'insieme A = {4k+1 |
k
N}; si tratta di un
insieme chiuso rispetto alla moltiplicazione, dove possiamo dare
la stessa definizione di numero primo valida in
N. Ebbene si può facilmente vedere che
in A esistono numeri con due scomposizioni; per esempio si ha
693 = 9·77 = 21·33, e tutti questi quattro numeri
sono primi in A. Il problema è proprio legato al fatto
che, benché 9 sia un divisore di 693, non lo è
né di 21, né di 33.
Possiamo anche osservare che se si includesse l'1 tra i numeri primi questo teorema dovrebbe avere una formulazione diversa e sicuramente più complessa. E' per questo che i numeri primi cominciano con 2 (che è l'unico primo pari!).