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Proprietà delle relazioni su un insieme

Ci interesseremo in particolare delle relazioni in un insieme (ovvero dei sottoinsiemi simbolo di relazione del prodotto cartesiano A ×A=A2). Queste relazioni possono godere di alcune proprietà che sono particolarmente importanti nelle applicazioni. Considereremo qui le più importanti. La condizione xappartieneA sarà sempre sottintesa e intenderemo che le relazioni considerate siano non vuote.

Riflessività

Una relazione simbolo di relazione su un insieme A è:

Se consideriamo la relazione idA = {(x,x) | x appartiene A}(la bisettrice del I e III quadrante in una rappresentazione cartesiana), possiamo dire che una relazione è riflessiva se è un soprainsieme di  idA, è irriflessiva se è disgiunta da idA. Se la relazione  contiene solo una parte (eventualmente vuota) di idA viene detta non riflessiva. Alcuni autori usano controriflessiva al posto di irriflessiva.

Simmetria

Una relazione simbolo di relazione su un insieme A è:

Rispetto alla relazione idA si può dire che una relazione è simmetrica se tutte le volte che contiene un punto sotto (o sopra) la bisettrice del I e III quadrante contiene anche il simmetrico dall'altro lato (e non è escluso che contenga alcuni punti della bisettrice stessa); è asimmetrica se tutte le volte che contiene un punto sotto (o sopra) la bisettrice del I e III quadrante non contiene anche il simmetrico dall'altro lato ed è inoltre disgiunta dalla bisettrice stessa; è antisimmetrica se tutte le volte che contiene un punto sotto (o sopra) la bisettrice del I e III quadrante non contiene anche il simmetrico dall'altro lato, ma, a differenza della asimmetrica, può contenere una parte o tutta la bisettrice stessa. Se (x,y) appartiene simbolo di relazione implica (y,x) appartiene simbolo di relazione è falsa per almeno una coppia (x,y) la relazione si dice non simmetrica. Si noti che una relazione può essere contemporaneamente simmetrica e antisimmetrica (l'identità  idA ne è un esempio). Alcuni autori usano controsimmetrica al posto di asimmetrica.

Transitività

Una relazione simbolo di relazione su un insieme A è:

E' più difficile fare riferimento alla relazione idA per visualizzare le relazioni transitive. Anche in questo caso si usa l'appellativo non transitiva per una relazione che non soddisfi le condizioni per essere transitiva.

Esempi

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pagina pubblicata il 04/06/2003 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003