Proprietà delle relazioni su un insieme
Ci interesseremo in particolare delle relazioni in un insieme
(ovvero dei sottoinsiemi 
del
prodotto cartesiano A ×A=A2).
Queste relazioni possono godere di alcune proprietà che
sono particolarmente importanti nelle applicazioni.
Considereremo qui le più importanti. La condizione
x
A sarà sempre sottintesa e
intenderemo che le relazioni considerate siano non vuote.
Riflessività
Una relazione su un
insieme A è:
-
riflessiva se e solo se
x (x,x).
-
irriflessiva se e solo se x (x,x)
.
Se consideriamo la relazione idA =
{(x,x) | x
A}(la bisettrice del I e III quadrante in una
rappresentazione cartesiana), possiamo dire che una relazione
è riflessiva se è un soprainsieme di
idA, è irriflessiva se è
disgiunta da idA. Se la relazione
contiene solo una parte (eventualmente vuota) di
idA viene detta non riflessiva.
Alcuni autori usano controriflessiva al posto di
irriflessiva.
Simmetria
Una relazione su un
insieme A è:
-
simmetrica se e solo se x y (x,y)
(y,x) .
-
asimmetrica se e solo se x y (x,y)
(y,x)
.
-
antisimmetrica se e solo se x y ((x,y)
(y,x) )
x=y.
Rispetto alla relazione idA si può
dire che una relazione è simmetrica se tutte le volte che
contiene un punto sotto (o sopra) la bisettrice del I e III
quadrante contiene anche il simmetrico dall'altro lato (e
non è escluso che contenga alcuni punti della bisettrice
stessa); è asimmetrica se tutte le volte che contiene un
punto sotto (o sopra) la bisettrice del I e III quadrante
non contiene anche il simmetrico dall'altro
lato ed è inoltre disgiunta dalla bisettrice stessa;
è antisimmetrica se tutte le volte che contiene un punto
sotto (o sopra) la bisettrice del I e III quadrante
non contiene anche il simmetrico dall'altro
lato, ma, a differenza della asimmetrica, può contenere
una parte o tutta la bisettrice stessa. Se (x,y) (y,x) è falsa per almeno una coppia
(x,y) la relazione si dice non simmetrica. Si
noti che una relazione può essere contemporaneamente
simmetrica e antisimmetrica (l'identità
idA ne è un esempio). Alcuni autori
usano controsimmetrica al posto di
asimmetrica.
Transitività
Una relazione su un
insieme A è:
-
transitiva se e solo se x y z ((x,y)
(y,z)
)
(x,z) .
-
intransitiva se e solo se x y z ((x,y)
(y,z)
)
(x,z)
.
E' più difficile fare riferimento alla relazione idA per visualizzare le relazioni transitive. Anche in questo caso si usa l'appellativo non transitiva per una relazione che non soddisfi le condizioni per essere transitiva.
Esempi
- La relazione "=" nell'insieme dei naturali è riflessiva, antisimmetrica, simmetrica, transitiva.
- La relazione "≤" nell'insieme dei naturali è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
- La relazione "<" nell'insieme dei naturali è irriflessiva,asimmetrica e transitiva.
- La relazione "essere parallelo" nell'insieme di tutte le rette dello spazio è riflessiva, simmetrica e transitiva.
- La relazione "essere perpendicolare" nell'insieme di tutte le rette dello spazio è irriflessiva, simmetrica, non transitiva (attenzione non è intransitiva).
- La relazione "essere fratello" (nel senso di avere gli stessi genitori) è riflessiva, simmetrica, transitiva.
- Ogni relazione asimmetrica è irriflessiva.
- Ogni relazione irriflessiva e transitiva è asimmetrica.
- Ogni relazione asimmetrica è antisimmetrica.