Una serie non può convergere se il suo termine generale non è infinitesimo.

Una serie a termini di segno costante può solo convergere o divergere. Questo implica che una serie a termini positivi converge se e solo la successione delle sue ridotte è maggiorata. Analogo discorso per le serie a termini negativi dove la successione delle ridotte deve essere minorata.

• La somma di due serie convergenti ad a e b converge ad a+b. Analogo risultato per un qualunque incastro tra le due serie.
• La somma di due serie divergenti a +∞ (a -∞) diverge a +∞ (a -∞). Analogo risultato per un qualunque incastro tra le due serie.
• La somma di una serie convergente e di una serie divergente a +∞ (a -∞) diverge a +∞ (a -∞). Analogo risultato per un qualunque incastro tra le due serie.
• Il prodotto tra una serie convergente ad a e una costante c è una serie convergente a ca.
• Il prodotto tra una serie divergente e una costante non nulla è una serie divergente.

Se la serie ottenuta prendendo i valori assoluti di tutti i termini converge, anche la serie data converge e si ha: .

Si tratta del criterio fondamentale per le serie, da cui sostanzialmente derivano tutti gli altri.

Date due serie a termini positivi e , tali che , n, allora:

• Se converge, anche converge (Ogni minorante, a termini positivi, di una serie convergente converge).
• Se diverge, anche diverge (Ogni maggiorante, a termini positivi, di una serie divergente diverge).

Data una serie a termini positivi se, n, , la serie converge; se , la serie diverge. In particolare se , la serie converge; se la serie diverge; se nulla si può dire, a meno che , nel qual caso la serie diverge.

Data una serie a termini strettamente positivi se, n, , la serie converge; se la serie diverge. In particolare se la serie converge, se ; nulla si può dire, ameno che , nel qual caso la serie diverge.

Si prova che se anche (anche nel caso di limite infinito), mentre non è vero il viceversa (si veda l'esercizio 1.17). Questo significa che il criterio della radice è più "generale" di quello del rapporto, anche se, naturalmente, in alcuni casi può essere tecnicamente più semplice l'applicazione di uno invece che l'altro.

È altresì importante osservare che i criteri della radice o del rapporto funzionano solo per serie il cui termine generale è infinitesimo di ordine soprareale, per cui è perfettamente inutile usarli quando si sa a priori che la serie non è di questo tipo.

La serie a termini positivi , decrescente e infinitesima, converge se e solo se converge la serie .

Se una serie a termini positivi è infinitesima di ordine superiore ad un reale s > 1, essa è convergente, se invece è infinitesima di ordine ≤ 1, allora diverge.

Una serie a segno alterno, infinitesima, e tale che la successione dei valori assoluti dei suoi termini sia decrescente converge.

Se è una funzione positiva non crescente, la serie e l'integrale sono della stessa natura.

Date due serie a termini positivi e , se, da un certo n in poi, , allora la convergenza di implica la convergenza di , mentre la divergenza di implica la divergenza di .

Data una serie a termini positivi se, da un certo n in poi, , la serie converge; se invece la serie diverge. In particolare se , la serie converge quando l > 1, diverge quando l < 1; nulla si può dire se l = 1.

Sia una serie tale che la successione delle sue somme parziali è limitata da un numero M. Sia poi {b_n} una successione positiva, decrescente ed infinitesima. Allora la serie converge.

Il criterio di Leibniz è un caso particolare di questo criterio.

Sia una serie convergente e {b_n} una successione monotòna convergente. Allora la serie converge.

• Serie geometrica: . (N.B. Se a<-1 la serie dei valori assoluti diverge a +∞; alcuni autori chiamano divergenti le serie di questo tipo: si tratta più che altro di una questione di gusti).
• Le serie che si ottengono per derivazione da questa: , , ecc.
• Serie armonica generalizzata: .
• Le serie che si ottengono per derivazione dagli sviluppi delle funzioni elementari.

Siano e due serie assolutamente convergenti. La serie ove c_n = a₀b_n+a₁b^n-1+... +a_nb₀, è detta prodotto secondo Cauchy delle due serie date e converge al prodotto delle somme delle due serie date.

Per evidenziare graficamente il modo in cui il prodotto è costruito, si esamini la figura seguente, in cui abbiamo indicato i prodotti da fare per ottenere c₄: