Data la successione , dimostrare che la serie converge, trovando una maggiorazione della successione delle ridotte.
Poiché la serie data è a termini positivi, se la successione delle ridotte è limitata, la serie converge (teorema dell'aut-aut). Cominciamo a considerare una ridotta del tipo . Separiamo, nella ridotta, i termini che hanno indice del tipo 2k, dagli altri. Per semplicità poniamo . Allora:
.
Si ha: . Inoltre, poiché la serie di termine generale converge, ogni sua ridotta è minore della somma, che indichiamo con s. Si ha quindi: . Se consideriamo ora una ridotta Sn qualsiasi, ci sarà sicuramente una ridotta del tipo che supera Sn. Questo basta per concludere che la serie data converge.
Si noti che questa serie è infinitesima, ma non infinitesima di ordine superiore a .