Soluzione
Studiare il carattere della serie: 
,
dove x è un reale qualunque.
Se x ≤ 0 il termine generale non è
infinitesimo, per cui la serie non può convergere. Sia
allora x > 0. Poiché |an|
n-x, la serie
converge assolutamente se, e solo se, x > 1.
Se 0 < x ≤ 1 osserviamo intanto che la serie
è a segno alterno, ma non è di Leibniz,
perché non decrescente. Si può scrivere: 
. La serie data si può scrivere come
differenza di una serie alterna di Leibniz e di una serie a
termini positivi. La prima converge ovviamente, la seconda
è asintotica a n-2x e quindi converge
per x > 1/2, diverge per x ≤ 1/2. Se ne
deduce che questo è anche il carattere della serie data.