Soluzione
Portare un esempio di una funzione f non negativa e
integrabile su [1,+∞[, tale che la serie 
. non converge. Giustificare il risultato.
Basta prendere una funzione che sia costante (per esempio con valore 1) su tutti i naturali e nulla altrove. Essa è localmente integrabile secondo Riemann (le sue discontinuità sono in numero finito su un qualunque intervallo), e il suo integrale vale sempre zero, per cui anche l'integrale su [1,+∞[ sarà nullo. Ovviamente la serie non convergerà.
Si può considerare un esempio un po' più sofisticato prendendo una funzione che vale 1/n sui naturali (la serie associata è la serie armonica che diverge).
Si possono addirittura considerare esempi di funzioni continue.
Si esamini la figura seguente, dove i triangoli hanno base 1,
1/2, 1/4, ecc e altezza sempre 1. L'integrale è
chiaramente finito, in quanto somma della serie 
, mentre la serie associata, fatta da tutti 1, diverge
chiaramente.
La ragione di questo comportamento è nel fatto che la funzione di cui si calcola l'integrale deve essere monotòna, e le funzioni proposte in questi esempi non lo sono.