Soluzione
Determinare il carattere della serie: 
.
Cominciamo con l'osservare che si tratta di una serie a segno alterno, che non può convergere assolutamente (la serie dei valori assoluti è la serie armonica). Per vedere se è applicabile il criterio di Leibniz dobbiamo controllare se la successione an è infinitesima e monotòna.
Per questo cominciamo a stabilire una interessante minorazione
di una somma di reciproci di numeri naturali. Se p e
k sono due naturali, si può provare per verifica
diretta che 
. Consideriamo poi una
somma di reciproci di naturali del tipo 
(come quelle che compaiono nella serie data). Se
raggruppiamo i termini associando il primo con l'ultimo, il
secondo con il penultimo, e così via, lasciando
eventualmente isolato il termine di mezzo se il numero di
addendi è dispari, possiamo facilmente concludere che
, dove ci interessa segnalare che il
numeratore è il doppio del numero di addendi, il
denominatore è la somma tra i denominatori estremi.
Cerchiamo ora di scrivere i vari "pacchetti" di
termini della nostra serie in modo compatto. Conviene osservare
che il pacchetto n-esimo è la somma di
n termini, e che il denominatore del primo termine del
pacchetto è esattamente di una unità superiore al
numero totale di addendi che lo precedono. Pertanto il
denominatore del primo termine del pacchetto n-esimo
sarà 
. Ogni pacchetto si
potrà allora scrivere come 
.
Sulla base della precedente minorazione della somma di reciproci
di numeri naturali potremo intanto concludere che 
.
Consideriamo ora il termine an+1.
Se sostituiamo in ciascun addendo del pacchetto ciascun termine
con il primo avremo una maggiorazione di questo termine: 
. Questa intanto prova che la serie è
infinitesima
Infine per verifica diretta si prova che 
.
Si può (finalmente!) concludere che 
,
cioè che è applicabile il criterio di Leibniz e
che la serie converge