Integrali doppi e tripli - Soluzione 1.3
Calcolare l'integrale 
, essendo D
il parallelogramma di vertici (0,0), (3,3), (5,2), (2,-1).
Cominciamo con il rappresentare graficamente il dominio di integrazione D, e con lo scriverlo in forma analitica.
Se determiniamo le equazioni dei quattro lati del
parallelogramma, vediamo che il dominio D si può
anche scrivere, in forma analitica, come D =
{(x,y) | -3 ≤ y-x ≤ 0, 0 ≤
y+x/2 ≤ 9/2}. Questa scrittura ci suggerisce di
effettuare un cambiamento di variabili tale da rendere il
dominio D normale rispetto ad uno dei nuovi assi
(addirittura un rettangolo). Basterà porre: 
, ovvero 
. Il dominio
trasformato sarà T = {(u,v) | -3 ≤
u ≤ 0, 0 ≤ v ≤ 9/2}. Lo Jacobiano è
-2/3, da cui: 
.
Si noti che l'integrale era calcolabile anche senza il cambiamento di variabile proposto, ma il dominio D doveva essere spezzato in tre domini normali , sia "guardandolo" dall'asse x che dall'asse y.