Calcolare l'integrale , essendo D il parallelogramma di vertici (0,0), (3,3), (5,2), (2,-1).
Cominciamo con il rappresentare graficamente il dominio di integrazione D, e con lo scriverlo in forma analitica.
Se determiniamo le equazioni dei quattro lati del parallelogramma, vediamo che il dominio D si può anche scrivere, in forma analitica, come D = {(x,y) | -3 ≤ y-x ≤ 0, 0 ≤ y+x/2 ≤ 9/2}. Questa scrittura ci suggerisce di effettuare un cambiamento di variabili tale da rendere il dominio D normale rispetto ad uno dei nuovi assi (addirittura un rettangolo). Basterà porre: , ovvero . Il dominio trasformato sarà T = {(u,v) | -3 ≤ u ≤ 0, 0 ≤ v ≤ 9/2}. Lo Jacobiano è -2/3, da cui: .
Si noti che l'integrale era calcolabile anche senza il cambiamento di variabile proposto, ma il dominio D doveva essere spezzato in tre domini normali , sia "guardandolo" dall'asse x che dall'asse y.