Integrali doppi e tripli - Soluzione 1.6
Calcolare 
, ove E è il volume
racchiuso dalla superficie S: 
, e dai piani z=1 e z=2.
La superficie S è un doppio cono a sezioni orizzontali ellittiche. I due piani indicati individuano una regione finita su questo doppio cono.
Consideriamo il cambiamento di coordinate 
, di matrice Jacobiana 
. Il
modulo dello Jacobiano è allora abρ. La
regione trasformata, T, è ora individuata da 1
≤ z ≤ 2, da ρ2 -
z2 ≤ 0, cioè ρ ≤
z, e dalle naturali limitazioni per θ tra -π e
π, oltreché da ρ ≥ 0. La sua rappresentazione
grafica si può vedere qui sotto, in cui abbiamo
tralasciato di tracciare il trapezio laterale per poterci
guardare dentro. E' preferibile vedere il dominio T
come normale rispetto al piano zθ, cioè
integrare per corde parallele all'asse ρ. Se indichiamo
con R il rettangolo proiezione di T sul piano
zθ, l'integrale si riduce a: 
.
