Esercizio 1 E' data la funzione .
Cerchiamo intanto la derivata di f fuori dall'origine: .
Un calcolo immediato prova che la funzione è continua nell'origine, dove vale 1, ed è anche derivabile con continuità, con derivata 2. La derivata è inoltre sempre positiva (si ricordi che la tangente iperbolica è sempre >-1), per cui la funzione è invertibile. Poiché si ha, come già osservato, f(0)=1, se ne deduce che .
Qui sotto è rappresentato il grafico della funzione f.
Esercizio 2 Si verifichi che, per x≠0, vale l'identità:
.
Se si calcolano le derivate delle due funzioni a primo e secondo membro si trova che entrambe valgono: . Dunque sia sulla semiretta x<0 che su quella x>0 le due funzioni possono solo differire per una costante. Basterà calcolarne il valore in un punto sulla prima semiretta e in uno sulla seconda per controllare se sono uguali. Ancora più semplicemente si può provare a fare, per entrambe, il limite al tendere a zero di x; poiché questi limiti valgono π/2, si può concludere che le funzioni coincidono. Il loro grafico comune è rappresentato di seguito.
.
Esercizio 3 Determinare i valori di α per cui la funzione
è continua in zero.
Intanto si ha . Calcoliamo ora il limite destro in zero. Cominciamo con l'osservare che. Se α=0 il numeratore si riduce a x3, il limite destro vale 0 e la funzione non è continua. Se α≠0 si ottiene: e il limite destro vale α2. la funzione è continua se .
Si veda il grafico di seguito corrispondente al valore positivo di α.
Esercizio 4 Data la funzione
,
dire se esiste n >0 tale che fn risulti derivabile nel suo dominio.
L'unico problema si ha per x=0, dove tutte le fn sono continue. Per la derivabilità calcoliamo il limite del rapporto incrementale. . Nessuna funzione può essere derivabile.
Esercizio 5 Sia .
Trovare α e β affinché la funzione sia di classe C1(R) e inoltre abbia limite 1 a +∞. In queste condizioni la f è C2(R)?
Cerchiamo la derivata fuori dall'origine. Si ha:
.
La funzione è di classe C1(R) per β=1 e per ogni α. Inoltre il limite a +∞ è 1 solo se , il che richiede α<0. Per vedere se è di classe C2(R) calcoliamo la derivata seconda fuori dall'origine: . Poiché il limite sinistro vale 2 e quello destro 2α, essi non potranno essere uguali in quanto α<0.
Qui di seguito è rappresentato il grafico relativo al valore α=-1