Esercizio 1 Data , si determinino le ascisse dei punti di massimo e minimo relativo per la funzione .
Basta osservare che F' = f su tutto R e trovare il segno di f. Per concludere basta osservare il grafico qui sotto.
.
Esercizio 2 Trovare il dominio delle seguenti funzioni: .
La prima ha dominio x>0, la seconda x<0. Infatti per F a partire dal punto 1 si possono raggiungere solo i punti x dove la funzione f risulta limitata e quindi solo gli x positivi. Analogo discorso per G.
Esercizio 3 Data la funzione g(t) =arctan2(t), si consideri la funzione .
1. Il dominio è chiaramente x≠0. Si ha poi . Abbiamo operato il cambiamento di variabile t = -s, che ha derivata -1 e abbiamo tenuto conto che la funzione integranda è pari.
2. Calcoliamo il limite per x tendente a zero. Scrivendo la funzione come , si vede subito che si ha la forma indeterminata 0/0 per cui si può applicare la regola di l'Hôpital. Si ottiene: . Per prolungarla basta allora porre f(0) = 0.
3. Per x≠0 si ha , per cui . Questo basta per concludere che la funzione è derivabile in 0 e la sua derivata è continua, ovvero f è di classe C1(R).
4. Scrivendo la funzione come indicato al punto 2 si vede subito che il limite richiesto si presenta nella forma ∞/∞, per cui si può applicare la regola di l'Hôpital. Si ottiene allora facilmente .
Esercizio 4 Dato il numero reale α si consideri la funzione . Si trovi il più grande valore di α per cui la funzione è monotòna crescente. Detta G l'inversa di F, per il valore di α trovato, si trovi l'equazione della tangente al grafico di G nel suo punto di ascissa 0.
Avendosi F'(x) = gα(x), basterà trovare α in modo che gα sia non negativa. Si deve cioè trovare α in modo che la disequazione sia sempre verificata. Tenendo conto del grafico della funzione a primo membro, che è rappresentato qui sotto, e del noto grafico di sinx, si conclude che α deve essere ≤-1.
Il grafico dei due membri per α = -1 è rappresentato qui sotto.
La tangente all'inversa nel suo punto di ascissa 0 è y = G(0) + G'(0)·x. Si ha G(0)=0 e . L'equazione richiesta è allora semplicemente y = x.
Esercizio 5 Sia f una funzione di classe C1(]0,+∞[). Mostrare che f soddisfa la se e solo se è costante.
Se f è costante , per cui la condizione indicata è verificata. Supponiamo che, viceversa, valga la condizione indicata. Allora . Derivando membro a membro si trova . da qui si conclude che f'(x)=0 in ]0,+∞[ e quindi che f è costante.