Esercizio 1 . Questo esercizio è interessante perché, nonostante la sua apparente semplicità, non è risoluzione facilmente senza l'uso della regola di l'Hôpital (o della formula di Taylor). Si può invece, solo con i limiti fondamentali, calcolare . Si noti la differenza nel risultato rispetto al limite precedente, anche se, in un intorno di zero, le funzioni tanx ed x si possono ritenere sostanzialmente coincidenti.
Esercizio 2 .
Oppure: .
Oppure: (si è sfruttato il fatto che x è infinitesimo di ordine superiore a ).
Esercizio 3 (applicare l'Hôpital all'argomento dell'esponenziale).
Esercizio 4 . Esaminiamo separatamente i vari addendi che compaiono al numeratore e al denominatore. e sono infiniti di ordine 1 e tale è anche la loro somma (lo si può verificare facilmente con un calcolo diretto). Al numeratore predomina dunque ex, e il resto si può trascurare (è o piccolo di ex). Al denominatore e sono funzioni limitate (la prima ovviamente, per la seconda basta scrivere l'esponente nella forma , che tende ad 1). Rimane dunque solo . Si può ora calcolare il limite seguente: . All'esponente x è un infinito di ordine 1, mentre ln(x)ln(coshx) è di ordine maggiore di 1 (è il prodotto tra ln(coshx), che è di ordine 1, per lnx che è un infinito).
Esercizio 5 . Esaminiamo separatamente i vari addendi che compaiono al numeratore e al denominatore. Sia al numeratore che al denominatore ci sono tre infiniti di ordine diverso e chiaramente il primo è quello di ordine maggiore in entrambi i casi (basta scriverli nella forma ed per rendersene conto). Il limite che rimane è facilmente calcolabile: .
Esercizio 6 . Esaminiamo separatamente i vari addendi che compaiono al numeratore e al denominatore. Si ha ; poi è chiaramente di ordine superiore rispetto a . Al denominatore il primo ed il terzo addendo non sono infiniti. Rimane (il numeratore è chiaramente di ordine superiore al denominatore).
Esercizio 7 . Al denominatore abbiamo la somma tra un infinito e una funzione limitata, che dunque si può trascurare. Al numeratore abbiamo la somma tra due infiniti. Ne facciamo il confronto, calcolando il limite del rapporto: . Se ne deduce che xex si può trascurare. Rimane allora da calcolare . Il numeratore è un infinito di ordine maggiore di ex, mentre il denominatore è dello stesso ordine di ex. Se ne deduce che il limite è -∞.
Esercizio 8
. Per il secondo fattore si è fatto uso di .
Esercizio 9 . Calcoliamo il limite dell'esponente. Si ha: . Il primo fattore tende ad 1, per il secondo si ha: . Il limite vale 1.
Esercizio 10 Sia f una funzione continua con le sue derivate, almeno fino all'ordine 3. Supposto che f(0)=0 e f"(0)≠0, calcolare: . Il limite si può trasformare in . Si può considerare solo l'esponente, applicando la regola di l'Hôpital. . Si può ora osservare che f' non può essere nulla in tutto un intorno di 0, perché altrimenti f"(0)=0. Allora se f'(0)≠0 l'esponente tende a -1 e il limite vale 1/e; se invece f'(0)=0 il limite si presenta ancora nella forma 0/0 e si può di nuovo applicare la regola di l'Hôpital: . Il limite vale allora 1/e2.
Esercizio 11 . Esaminiamo l'esponente: . A questo punto l'applicazione della regola di l'Hôpital fornisce subito il valore zero per il limite dell'esponente. In definitiva il limite richiesto è 1.