Esercizio 1 Calcolare, al variare del numero reale α, il . Il numeratore della frazione tende a . Il denominatore tende a . Dunque:
Rimane il caso α=-1 quando il limite si presenta nella forma 0/0. Al denominatore si ha la somma di due infinitesimi, di cui il primo è di ordine superiore al secondo, per cui può essere trascurato. Il limite da calcolare diventa dunque: . Per l'ultimo fattore si può osservare che .
Esercizio 2 Calcolare, al variare del numero reale α>0, il . Il numeratore si può scrivere come . Tenuto conto che il primo fattore tende ad 1 e il secondo a ln2, ci si può limitare a considerare il terzo. Per il denominatore osserviamo che se α>1 il secondo addendo è infinitesimo di ordine superiore al primo, per cui si può trascurare; se α<1 il primo addendo è di ordine superiore al secondo per cui si può trascurare; se invece α=1 sono infinitesimi dello stesso ordine. Esaminiamo i vari casi.
Esercizio 3 Calcolare, al variare del numero reale α, il . Il denominatore si può sostituire, usando i limiti fondamentali, con xα+2. Se α=0 il numeratore si riduce a cosx-1 e il limite vale -1/2. Se α≠0 al numeratore otteniamo: . Si devono dunque distinguere il caso α≠1, in cui il numeratore ha limite finito α(1-α), e quello α=1 in cui il numeratore vale x+o(x2). Si presentano le seguenti situazioni:
Esercizio 4 Calcolare, al variare del numero reale α>0, il . Il limite richiesto si può scrivere come . Il primo fattore tende a 1. Esaminiamo il denominatore del secondo fattore, che si presenta come somma di due infinitesimi, il primo di ordine 1 e il secondo di ordine infrareale strettamente minore di α. Allora se α>1 il secondo addendo si può trascurare e il limite vale 1/3. Se invece α≤1 si può trascurare il primo addendo e il limite si presenta come il rapporto di due infinitesimi, di cui quello al numeratore è di ordine superiore: il limite vale 0.
Esercizio 5 Calcolare, al variare del numero reale α, il . Il limite si può trasformare in: , che è della forma 0/0 per ogni valore di α. Applichiamo la regola di l'Hôpital. Si ottiene: . Se α≠0 il limite è +∞. Se α=0 il limite si riduce a: .
Esercizio 6 Calcolare, al variare del numero reale α, il . Il numeratore della frazione tende a zero, mentre il denominatore tende ad 1-α. Quindi se α≠1 il limite vale 0. Se α=1 si può osservare che, al denominatore, è infinitesimo di ordine 1/2, mentre ex-1 è di ordine 1 e quindi si può trascurare. Si ottiene allora: .