La formula di Taylor-Lagrange è molto utile per valutazioni approssimate in quanto permette, in molti casi, una semplice valutazione dell'ordine di grandezza dell'errore che si commette approssimando una funzione con un polinomio di Taylor di grado opportuno. Ricordiamo qui l'enunciato del teorema relativo.
Formula di Taylor-Lagrange: Sia f una funzione
definita in un intervallo I = ]a,b[ e sia c I. Supponiamo che in I la funzione sia derivabile
n-1 volte, mentre esiste anche la derivata
n-esima in I\{c}. Allora per ogni x
di I\{c}
ξ tra x e c tale che:
.
Si noti che, mentre nella formula di Taylor-Peano si hanno solo
informazioni sull'ordine di infinitesimo del resto (e per
questo essa è utile nel calcolo dei limiti), in questo
caso si ha una formula esplicita per il resto. Esaminando la
formula si può concludere che l'errore che si
commette approssimando, in un punto x di
]a,b[, una funzione con il suo polinomio di Taylor di
un certo grado p è, in valore assoluto, , essendo ξ un valore compreso tra c
ed x, oppure tra x e c. Poiché
non è nota la posizione di ξ, non si può
valutare esattamente questo errore. Se però si riesce a
trovare il massimo, diciamolo M, di
, allora l'errore sarà sicuramente minore di
. In molti casi invece di trovare il massimo si
trova una maggiorazione, che possiamo ancora indicare
con M, di
e si conclude di nuovo,
anzi a maggiore ragione, che l'errore è sicuramente
minore di
.
Nelle applicazioni le richieste comuni sono qui di seguito elencate.
Nella tabella che segue abbiamo riportato i polinomi di Taylor e i valori degli errori, cioè del valore assoluto del resto nella forma di Lagrange, per le funzioni elementari più importanti, con punto iniziale 0.
Funzione | Polinomio di Taylor | Errore |
sinx |
![]() |
![]() |
cosx |
![]() |
![]() |
ex |
![]() |
![]() |
sinhx |
![]() |
![]() |
coshx |
![]() |
![]() |
ln(1+x), x > -1 |
![]() |
![]() |
(1+x)α, x > -1 |
![]() |
![]() |
Per quanto riguarda le maggiorazioni sul resto si possono fare le osservazioni che seguono.