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Esercizi su approssimazioni con la formula di Taylor - 1

Esercizio 1 Calcolare img in modo che l'errore nell'approssimazione sia minore di 0.01.

Si possono seguire diverse strade:

Valutiamo i pro e i contro delle diverse soluzioni proposte.

Scriviamo dunque la formula di Taylor di punto iniziale 0, relativa alla funzione esponenziale, e ponendo x = 1/2: img. Poiché 0<ξ<(1/2), eξe1/2. Inoltre, essendo e minore di 4, ne segue che e1/2 < 2. L'errore sarà maggiorato da img. Basterà trovare n tale che img sia minore di 0.01 (una maggiorazione più grossolana si poteva ottenere osservando che e1/2e ≤ 3).

Si tratterà di trovare n tale che (n+1)! ≥ 100. Se n=1 si ha 2·2=4<100, se n=2 si ha 6·4=24<100, se n=3 si ha 24·8=192>100. Basterà dunque prendere il polinomio di grado 3 e si ottiene: img.

Se si fosse considerato un polinomio di grado 4 l'approssimazione, probabilmente, sarebbe stata ancora migliore (211/128). Ci si può rendere conto di questo confrontando il valore di e1/2 con dieci cifre decimale esatte con quelli ottenibili con polinomi di diverso grado:

Si noti come il passaggio da un grado al successivo non comporti necessariamente l'aumento del numero di cifre esatte.


Esercizio 2 Calcolare ln(1.2) in modo che l'errore sia minore di 0.001.

Si può usare lo sviluppo di ln(1+x) di punto iniziale 0, con x = 0.2. Si tratta di trovare un valore di n in modo che img; poiché img, basterà che img ovvero img.

Se n=1 si ha 2·25=50<1000, se n=2 si ha 3·125=375<1000, se n=3 si ha 4·625=2500>1000. Dunque il polinomio di grado 3 va bene. Si ha img. Il valore richiesto, con 10 cifre decimali esatte, è: 0.1823215567; questo conferma la correttezza del risultato trovato.


Esercizio 3 Calcolare 91/3, con un errore minore di 1/105.

 Osserviamo che img: potremo usare lo sviluppo di (1+x)α, con α=1/3 e x = 1/8. Dovremo trovare n in modo  che img. Poiché 0<ξ<1/8, img: potremo limitarci a cercare n tale che img. Se n=1 l'errore massimo è 1/288; se n=2 l'errore massimo è 5/20736, se n=3 l'errore massimo è 5/248832, se n=4 l'errore massimo è 11/5971968 e l'ultimo valore soddisfa le richieste del problema. Potremo dunque concludere con la seguente uguaglianza approssimata: img Per un utile confronto si può calcolare il valore richiesto (mediante un software di calcolo automatico!), con dieci cifre decimali esatte; si ottiene 2.0800838230..., in perfetto accordo con quanto da noi trovato.


Esercizio 4 Calcolare ln(0.5) con un errore minore di 10-2.

Si può usare la formula di Taylor di ln(1+x), di punto iniziale 0, valutata per x = -1/2. Dobbiamo trovare n in modo che img. Poiché -1/2 < ξ < 0 basterà trovare n tale che img. Si deduce subito che il minimo valore di n è 100. Dunque per ottenere un valore approssimato a meno di 1/100 di ln(0.5) occorre calcolare img, cosa non proprio agevole (per pura curiosità riportiamo il risultato img, che abbiamo ottenuto con Derive™). Naturalmente non è affatto escluso che in questo risultato l'errore sia anche minore di 1/100, in quanto noi abbiamo trovato solo l'errore massimo, che si ha in corrispondenza di ξ=-1/2. Purtroppo noi non abbiamo alcuna indicazione su quanto vale ξ, tranne il fatto che -1/2 < ξ < 0: se per caso questo valore fosse molto vicino a zero potrebbero bastare molti meno addendi per avere l'approssimazione richiesta.

Si può osservare che se prendiamo x = 1/2, ovvero se cerchiamo un valore approssimato di ln(1.5), l'errore è dato da img, valore maggiorato da img, in quanto ora 0 < ξ < 1/2. Affinché questo errore sia minore di 1/100 basta ora prendere n = 4 e il valore approssimato di ln(1.5) è semplicemente 77/192. Il motivo di questa differenza di comportamento tra 1/2 e -1/2 è che -1/2 sta molto "più vicino all'asintoto verticale" di ln(1+x) che non 1/2.


Esercizio 5 Calcolare sin(1) con un errore minore di 10-10.

Se utilizziamo lo sviluppo di Taylor di ordine 2n di sin(x), di punto iniziale 0, con x = 1, troviamo per il resto la maggiorazione: img. Se vogliamo che questo valore sia minore di 10-10, basterà trovare n in modo che (2n+1)!>1010. Calcolando il primo membro troviamo per n = 6 (2*6+1)!=6.227.020.800, mentre per n = 7 (2*7+1)!=1.307.674.368.000. il primo valore valido è dunque n =7. Il valore cercato si ottiene dunque dalla seguente somma: img. Il valore approssimato fino alla 15 cifra decimale (ottenuto con Derive™) è: 0.841470984807896...: come si vede l'obiettivo è stato perfettamente raggiunto.

Dal punto di vista del calcolo dell'errore sarebbe stato molto più conveniente utilizzare lo sviluppo di sin(x) con punto iniziale π/2, in quanto 1 è più vicino a π/2 che non a 0. Questo sviluppo si trova facilmente se si tiene conto che le prime quattro derivate della funzione seno sono, nell'ordine, cosx, -sinx, -cosx, sinx, e successivamente si ripetono. Si trova dunque: img. il resto R2n(x) è maggiorato da img. Nel nostro caso in cui x vale 1, se teniamo conto conto che π/2<1.6, possiamo concludere che tale resto si può maggiorare con img, un valore decisamente inferiore, in particolare per n grande, rispetto al precedente: basterà un polinomio di grado molto minore per ottenere lo stesso livello di approssimazione. Se questa è una facilitazione, bisogna però tenere conto che per calcolare i vari addendi del polinomio di Taylor in x=π/2 occorre valutare π con un elevato numero di cifre decimali esatte, per evitare che gli errori di arrotondamento introdotti nei calcoli facciano sensibilmente diminuire la precisione del risultato che si ottiene.

pagina pubblicata il 16/12/2004 - ultimo aggiornamento il 16/12/2004