Esercizio 1 Calcolare in modo che l'errore nell'approssimazione sia minore di 0.01.
Si possono seguire diverse strade:
Valutiamo i pro e i contro delle diverse soluzioni proposte.
Scriviamo dunque la formula di Taylor di punto iniziale 0, relativa alla funzione esponenziale, e ponendo x = 1/2: . Poiché 0<ξ<(1/2), eξ ≤ e1/2. Inoltre, essendo e minore di 4, ne segue che e1/2 < 2. L'errore sarà maggiorato da . Basterà trovare n tale che sia minore di 0.01 (una maggiorazione più grossolana si poteva ottenere osservando che e1/2 ≤ e ≤ 3).
Si tratterà di trovare n tale che (n+1)! ≥ 100. Se n=1 si ha 2·2=4<100, se n=2 si ha 6·4=24<100, se n=3 si ha 24·8=192>100. Basterà dunque prendere il polinomio di grado 3 e si ottiene: .
Se si fosse considerato un polinomio di grado 4 l'approssimazione, probabilmente, sarebbe stata ancora migliore (211/128). Ci si può rendere conto di questo confrontando il valore di e1/2 con dieci cifre decimale esatte con quelli ottenibili con polinomi di diverso grado:
Si noti come il passaggio da un grado al successivo non comporti necessariamente l'aumento del numero di cifre esatte.
Esercizio 2 Calcolare ln(1.2) in modo che l'errore sia minore di 0.001.
Si può usare lo sviluppo di ln(1+x) di punto iniziale 0, con x = 0.2. Si tratta di trovare un valore di n in modo che ; poiché , basterà che ovvero .
Se n=1 si ha 2·25=50<1000, se n=2 si ha 3·125=375<1000, se n=3 si ha 4·625=2500>1000. Dunque il polinomio di grado 3 va bene. Si ha . Il valore richiesto, con 10 cifre decimali esatte, è: 0.1823215567; questo conferma la correttezza del risultato trovato.
Esercizio 3 Calcolare 91/3, con un errore minore di 1/105.
Osserviamo che : potremo usare lo sviluppo di (1+x)α, con α=1/3 e x = 1/8. Dovremo trovare n in modo che . Poiché 0<ξ<1/8, : potremo limitarci a cercare n tale che . Se n=1 l'errore massimo è 1/288; se n=2 l'errore massimo è 5/20736, se n=3 l'errore massimo è 5/248832, se n=4 l'errore massimo è 11/5971968 e l'ultimo valore soddisfa le richieste del problema. Potremo dunque concludere con la seguente uguaglianza approssimata: Per un utile confronto si può calcolare il valore richiesto (mediante un software di calcolo automatico!), con dieci cifre decimali esatte; si ottiene 2.0800838230..., in perfetto accordo con quanto da noi trovato.
Esercizio 4 Calcolare ln(0.5) con un errore minore di 10-2.
Si può usare la formula di Taylor di ln(1+x), di punto iniziale 0, valutata per x = -1/2. Dobbiamo trovare n in modo che . Poiché -1/2 < ξ < 0 basterà trovare n tale che . Si deduce subito che il minimo valore di n è 100. Dunque per ottenere un valore approssimato a meno di 1/100 di ln(0.5) occorre calcolare , cosa non proprio agevole (per pura curiosità riportiamo il risultato , che abbiamo ottenuto con Derive™). Naturalmente non è affatto escluso che in questo risultato l'errore sia anche minore di 1/100, in quanto noi abbiamo trovato solo l'errore massimo, che si ha in corrispondenza di ξ=-1/2. Purtroppo noi non abbiamo alcuna indicazione su quanto vale ξ, tranne il fatto che -1/2 < ξ < 0: se per caso questo valore fosse molto vicino a zero potrebbero bastare molti meno addendi per avere l'approssimazione richiesta.
Si può osservare che se prendiamo x = 1/2, ovvero se cerchiamo un valore approssimato di ln(1.5), l'errore è dato da , valore maggiorato da , in quanto ora 0 < ξ < 1/2. Affinché questo errore sia minore di 1/100 basta ora prendere n = 4 e il valore approssimato di ln(1.5) è semplicemente 77/192. Il motivo di questa differenza di comportamento tra 1/2 e -1/2 è che -1/2 sta molto "più vicino all'asintoto verticale" di ln(1+x) che non 1/2.
Esercizio 5 Calcolare sin(1) con un errore minore di 10-10.
Se utilizziamo lo sviluppo di Taylor di ordine 2n di sin(x), di punto iniziale 0, con x = 1, troviamo per il resto la maggiorazione: . Se vogliamo che questo valore sia minore di 10-10, basterà trovare n in modo che (2n+1)!>1010. Calcolando il primo membro troviamo per n = 6 (2*6+1)!=6.227.020.800, mentre per n = 7 (2*7+1)!=1.307.674.368.000. il primo valore valido è dunque n =7. Il valore cercato si ottiene dunque dalla seguente somma: . Il valore approssimato fino alla 15 cifra decimale (ottenuto con Derive™) è: 0.841470984807896...: come si vede l'obiettivo è stato perfettamente raggiunto.
Dal punto di vista del calcolo dell'errore sarebbe stato molto più conveniente utilizzare lo sviluppo di sin(x) con punto iniziale π/2, in quanto 1 è più vicino a π/2 che non a 0. Questo sviluppo si trova facilmente se si tiene conto che le prime quattro derivate della funzione seno sono, nell'ordine, cosx, -sinx, -cosx, sinx, e successivamente si ripetono. Si trova dunque: . il resto R2n(x) è maggiorato da . Nel nostro caso in cui x vale 1, se teniamo conto conto che π/2<1.6, possiamo concludere che tale resto si può maggiorare con , un valore decisamente inferiore, in particolare per n grande, rispetto al precedente: basterà un polinomio di grado molto minore per ottenere lo stesso livello di approssimazione. Se questa è una facilitazione, bisogna però tenere conto che per calcolare i vari addendi del polinomio di Taylor in x=π/2 occorre valutare π con un elevato numero di cifre decimali esatte, per evitare che gli errori di arrotondamento introdotti nei calcoli facciano sensibilmente diminuire la precisione del risultato che si ottiene.