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0/0: un mostro reale o solo apparente?

Quanto fa img? A scanso di equivoci anticipiamo quella che, secondo noi, è l'unica risposta possibile: img fa tanto quanto img o img, cioè non fa proprio niente, nel senso che non ha alcun significato.

Su alcuni testi, soprattutto a carattere elementare, è scritto che img è indeterminato. Questa affermazione può essere corretta in un certo contesto (cioè è possibile dare una definizione di divisione nella quale questa affermazione ha senso), ma secondo noi comporta comunque una tale mole di problemi e fraintendimenti che è assolutamente da evitare.

La definizione tradizionale di divisione in N (ma potrebbe essere la stessa in R) è la seguente: data una coppia ordinata di numeri naturali (a,b), con b0 si chiama quoziente l'unico numero naturale c, se esiste, che si deve moltiplicare per b onde ottenere a.

Nella definizione si assume b0 perché si osserva subito che ci sono questi due problemi:

  1. se b=0, e a≠0 non esiste alcun c che soddisfa la richiesta;

  2. se invece si ha, contemporaneamente, a=0 e b=0, tutti i numeri naturali soddisfano la richiesta.

Ora è obbligatorio dire che nel primo caso l'operazione non è definita, ma, secondo noi, la stessa cosa deve avvenire nel secondo caso: se un'operazione è degna di questo nome bisogna che abbia un unico risultato, non può averne infiniti. Il fatto che poi solo poche coppie (a,b) ammettano un c che soddisfa la richiesta è lo stimolo primo che ci suggerisce di cercare di ampliare l'insieme dei naturali ottenendo quello dei razionali. Con questo tipo di definizione ci pare dunque ragionevole non attribuire alcun significato alla divisione per zero, nemmeno nel caso in cui il dividendo sia zero.

Ci sarebbe anche un altro modo di definire la divisione, o meglio di attribuire un significato al simbolo a/b: il rapporto a/b è l'insieme delle soluzioni dell'equazione di primo grado nell'incognita x: bx=a. Con questa definizione avrebbero senso scritture come le seguenti: 4/2 = {2}, 0/0 = N, 4/0 = insieme vuoto, ma non si guadagnerebbe nulla né in praticità né in semplicità. Si può osservare che, invece, il processo che si adotta abitualmente è esattamente l'opposto di questo: si dà una definizione di divisione proprio in modo da rendere possibile la risoluzione della equazione bx=a e si conclude che l'equazione ha al più una soluzione se b0 (in N, ne avrebbe sempre una sola in Q), non ne ha nessuna se img, ne ha infinite se img.

La definizione che ci pare logicamente più corretta di divisione è però la seguente: il rapporto a/b è il prodotto tra a e il reciproco di b.

Poiché zero non ha un reciproco, si capisce subito che il simbolo 0/0 non ha alcun significato, esattamente come il simbolo 1/0, 2/0, o altri in cui il "denominatore" è zero. In altre parole, se la definizione di divisione è quella qui sopra, è logicamente scorretto affermare che zero su zero è indeterminato.

Il problema è strettamente legato al fatto che, come operazione, la divisione è proprio una frana, in quanto non gode di nessuna proprietà significativa: l'aggiunta della divisione alle operazioni di somma e prodotto non arricchisce per nulla la struttura algebrica dell'insieme numerico in cui si opera, per cui è meglio ridurre la divisione stessa ad una speciale moltiplicazione (tra il primo numero e il reciproco del secondo). Ricordiamo che lo stesso si fa con la sottrazione che è ridotta ad una speciale addizione (tra il primo numero numero e l'opposto del secondo). Questo è esattamente quello che fanno tutti i testi elementari quando si passa dall'aritmetica all'algebra. Ma allora perché dire, in aritmetica, che 0/0 è indeterminato, per poi essere costretti, in algebra, ad affermare che 0/0 non ha senso?.

pagina pubblicata il 01/04/2001 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003