La formula di cui vogliamo parlare in questa pagina costituisce una generalizzazione della formula relativa alla somma dei primi n numeri naturali, che si può ricavare in maniera molto semplice, come fece il giovane Gauss, o per via grafica.
Se p ed n sono numeri naturali, ci proponiamo di calcolare . Avremo bisogno di considerare anche la stessa somma con , al posto di p: chiameremo queste somme .
Dato un naturale k, si ha: k = (k-1)+1, da cui, applicando la formula del binomio di Newton:
.
Se in questa formula poniamo, successivamente, k=1, k=2,...,k=(n-1), otteniamo:
Ora, armandoci di pazienza, sommiamo membro a membro tutte queste uguaglianze, raggruppando assieme tutti i termini che stanno sulle stesse colonne e, per ciascuno di questi raggruppamenti, raccogliendo l'eventuale fattore comune. Per semplificare questo calcolo osserviamo che a primo membro otteniamo , cioè ; la prima colonna del secondo membro dà semplicemente , l'ultima colonna dà (n+1), le altre colonne sono il prodotto di per .
Si ottiene (quasi!) subito: . Se semplifichiamo il primo addendo che è comune nei due membri otteniamo la formula che ci permetterà, per ricorrenza, di trovare la somma che stiamo cercando.
.
Ora basta porre in questa formula, successivamente, p=2, p=3, ecc.
p=2
p=3
p=4
Si osservi che da questa tabella scende , cioè .
Anche la formula per può essere ricavata con una dimostrazione per via grafica.