Alcune interessanti definizioni fondamentali in matematica
Trascrizione integrale di alcune definizioni prelevate da un sito, che per altro contiene parecchie cose molto pregevoli.
Definizione 1.2 Un numero è rappresentato da una sequenza di un numero qualsiasi di cifre da zero a nove che può anche essere divisa in due parti dal punto decimale. In altri termini un numero è quello che può essere scritto su una qualsiasi calcolatrice premendo i tasti da 0 a 9 ed eventualmente il tasto col punto decimale.
Ad esempio sono numeri 4 oppure 364 o ancora 985.382. Ora proviamo a rispondere a questa domanda.
Una frazione è un numero? La risposta è NO! ... La frazione descrive l'operazione da svolgere per ottenere il numero.
... A questo punto ci si può domandare perché affaticarsi a fare i calcoli con le frazioni quando è molto più semplice usare i numeri.
Poveri numeri ridotti miseramente a output di banali calcolatrici!
... Nel corso di matematica sarà dimostrato che quasi
tutti i numeri decimali possono essere scritti sotto forma di
frazione. Quasi perché esiste una classe di numeri per
i quali sfortunatamente questo non è possibile: Il
più noto tra questi è il famoso 3.14 che
è usato, tra l'altro, nel calcolo dell'area e
della circonferenza di un cerchio. Si tratta di un numero con
un numero infinito di cifre che si ripetono senza alcun
ordine (numero non periodico) e che quindi non
potrà mai essere scritto esattamente ma solo e
soltanto in forma approssimata. Spesso nei calcoli elementari
si usano due soli decimali scrivendo soltanto 3.14 ma per
chiarire meglio il concetto ora lo scriviamo con 50
decimali:
π=3.1415926535897932384626433832795028841971693992751
Si tratta ancora di un numero approssimato!
Per ridurre l'errore nei calcoli è necessario
usare il maggior numero di cifre possibili. Fortunatamente
non è necessario ricordare questo numero a memoria
perché in tutte le calcolatrici scientifiche è
possibile scriverlo premendo un solo tasto.
Ma non ci avevano detto che i numeri irrazionali erano molti di
più dei razionali (anzi che erano tanti quanti tutti i
numeri)?
E poi: se questo famoso numero si può scrivere con un
solo tasto, allora le calcolatrici (scientifiche si badi bene!)
possono operare con infinite cifre?
Ma la cosa che ci pare più interessante nel passo citato
è il concetto di numero approssimato. Francamente non ci
risulta che i numeri si possano dividere in numeri esatti e
numeri approssimati: sono numeri e basta. In realtà
questa espressione nasconde, a nostro avviso, un grave e sottile
errore di logica. Mentre è corretto dire che 3.14
è un'approssimazione di π, o un valore
approssimato di π, non ha alcun senso dire che 3.14 è
un numero approssimato: 3.14 è un numero e basta; se si
volesse essere pignoli si potrebbe dire che 3.14 è
un'approssimazione razionale dell'irrazionale π, ma
forse si diventa troppo sofisti.
1.2.1 Una equazione è la dichiarazione che due espressioni matematiche sono uguali.
3+5=8
Questa è proprio una gran bella novità!.
Insieme vuoto
I simboli che si usano per rappresentare
l'insieme vuoto sono { }, 
,
{}.
Purtroppo il terzo dei simboli proposti è gravemente
errato, in quanto l'insieme {} ha un elemento, l'elemento "", e quindi non può essere vuoto.
D'altro canto uno dei modi per definire i naturali utilizza
proprio questo tipo di costruzioni basate sull'insieme
vuoto: 0=||,
1=|{}|,
2=|{,{}}|, 3=|{,{,},{,{}}}|, ecc, dove con il
simbolo | | abbiamo indicato la cardinalità di un
insieme.
Definizione di valore assoluto
Il valore assoluto (o modulo) di a
è il numero considerato sempre positivo. |-5|=5,
|6|=6.
Questa definizione non è di per sé errata, e
potrebbe avere un senso se, per esempio, si introducessero i
numeri relativi come coppie formate da un segno e da un valore
assoluto (con qualche attenzione per lo zero!). Non si tratta
però del modo comune di introdurre i relativi e invitiamo
ad attenersi invece a quella che è la definizione
codificata da tutti i testi universitari e
cioè: 
. Una definizione come quella proposta
in questo sito implica che la funzione modulo ha come dominio
R e come codominio i Reali
assoluti (si badi bene: i reali assoluti, cioè
senza segno, non i reali positivi, che invece un segno ce
l'hanno, anche se di solito non lo scriviamo per
brevità). Questo può portare a sottili errori di
logica: non dovrei per esempio scrivere 
,
in quanto il primo membro è un reale positivo, mentre il
secondo, seguendo la definizione proposta in questo sito,
sarebbe un reale senza segno.
Per concludere, una cosa di fisica, che ci è parsa degna di nota:
Definizione 7.1 La Dinamica studia le azioni da effettuare su una massa affinché rispetti le richieste cinematiche.
No comment!