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Concetti matematici introduttivi alla fisica

Sull'introduzione ai numeri reali ci sono in rete moltissime perle, e tra le tante ci è particolarmente piaciuta quella che qui integralmente riportiamo.

L'insieme dei numeri reali è il più rappresentativo dell'analisi matematica. Esso possiede due grandi particolarità:

  1. Ordinamento crescente: ogni numero è minore o uguale ad almeno un altro numero.
  2. Completezza: tra due qualsiasi numeri sono compresi un'infinità di altri numeri reali maggiori del primo e minori del secondo.

Inoltre in esso si possono definire operazioni tra i suoi elementi, per questo viene detto campo.

Le operazioni fondamentali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione.

I numeri reali grazie alle due particolarità sopra esposte possono essere rappresentati geometricamente tramite una retta detta asse reale, in modo che fra ciascun punto della retta e ciascun numero dell'insieme R vi sia una corrispondenza biunivoca...

Commenti

Non abbiamo capito che cosa voglia dire particolarità , innanzitutto perché la prima delle due particolarità è goduta dalla stragrande maggioranza degli insiemi ordinati e poi perché la seconda non è la caratterizzazione della completezza: anche l'insieme dei numeri razionali gode di questa particolarità ma non é completo.

Un campo è, usualmente, un corpo commutativo, e quindi non basta che in esso siano definite "operazioni tra i suoi elementi": é indispensabile che siano definite due operazioni e che esse godano di una serie ben precisa di proprietà.

Ci pare poi perlomeno azzardato affermare che é grazie alle due particolarità sopra esposte che si possa stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei reali e una retta. 

Solo per fare gli ultrapignoli, poi, sarebbe da osservare che, in ogni caso, la corrispondenza biunivoca si stabilisce tra l'insieme dei reali e una retta, non tra ciascun punto della retta e ciascun numero dell'insieme R

Successivamente, nello stesso sito, abbiamo trovato la formula img. Purtroppo l'abitudine di attribuire al simbolo img due valori, con b positivo, è abbastanza comune e diffusa in molti testi scolastici. A questo proposito riteniamo utile riportare una nota presa da Mario Dolcher, Elementi di Analisi Matematica, Edizioni LINT Trieste 1991, a pag. 273:

C'è chi scrive img. A parte che così si contravviene al criterio generale che un simbolo deve indicare un oggetto, si creano situazioni ridicole, p.es. quando si scriva img per indicare ambedue i numeri che è possibile leggere, senza accorgersi che, se il simboloé stato dichiarato comprensivo di due numeri opposti, per essere coerenti dovremmo leggere in img ambedue i numeri. Si tratta di una brutta usanza alla quale in modo maldestro si cerca di rimediare, contraddicendosi.

Chi vuole ulteriormente approfondire l'argomento, in particolare sulle radici quadrate, può consultare, in questo sito, la monografia Quadrati e radici quadrate.

La cosa comunque che ci è parsa più interessante è la seguente:

Definizione di funzione: Sia f una relazione tra gli insiemi X e Y, f è una funzione img se img (il significato è: per ogni due numeri appartenenti all'insieme X se essi possiedono due corrispondenti diversi in Y allora essi sono per forza diversi).

Non abbiamo trovato traccia di questa definizione (che in sostanza inverte l'ordine della implicazione che definisce le funzioni iniettive) in altri posti e forse essa nasce da una errata interpretazione della definizione canonica, che, espressa con linguaggio intuitivo si può così formulare: una relazione tra due insiemi X e Y è una funzione se è univoca e definita su tutto X, cioè se è tale che ogni oggetto del dominio ha un unico corrispondente nel codominio.

Si esamini il seguente esempio:

Siano X = {1,2} e Y = {a,b}. Consideriamo poi la relazione f tra i due insiemi, così definita: 1 f a, 1 f b, 2 f a (cioè 1 è in relazione con a e b, mentre 2 è in relazione solo con a). Anche se abitualmente per le relazioni non si usa la stessa nomenclatura usata per le funzioni, volendo restare nello spirito della definizione sopra riportata ci pare che dovremmo scrivere f(1)={a,b}, f(2)={a}. Con questa relazione la proprietà richiesta nella definizione sopra riportata è soddisfatta, ma essa, almeno per quanto ne sappiamo noi, non viene considerata una funzione.

pagina pubblicata il 12/12/2001 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003