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I complessi non sono un corpo ordinato

Ricordiamo che un insieme K è un corpo commutativo ordinato se:

1. Sono definite due operazioni (addizione e moltiplicazione) dotate di:
   1. proprietà associativa
   2. esistenza di elemento neutro
   3. esistenza di reciproco
   4. proprietà commutativa
   5. proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione
2. Sull'insieme è definito un ordine totale (due elementi sono sempre confrontabili)
3. Se definiamo , valgono le seguenti proprietà:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. .

Gli elementi di K⁺ si dicono positivi, gli altri negativi.

Per provare che l'insieme C dei complessi non può essere un corpo ordinato ragioniamo per assurdo e supponiamo che valgano tutte le proprietà sopra elencate.

Osserviamo intanto che se k>0, allora -k<0, altrimenti anche k-k>0, in contrasto con la proprietà 3.3.

Osserviamo poi che qualunque sia il numero k appartenente a C, k² è positivo. Infatti se k>0, a maggior ragione k²>0 (proprietà 3.1), se invece k<0, allora -k>0 e quindi (-k)²=k²>0. Ne segue che 1=(1)² è positivo e quindi che -1<0.

Consideriamo ora il numero i. Se i>0, allora i²>0, ma i²=-1. Alla stessa conclusione si giunge se i<0. Quindi l'insieme C non può essere un corpo ordinato.

copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia

pagina pubblicata il 25/02/2005 - ultimo aggiornamento il 25/02/2005