Proviamo che |z+w| ≤ |z| + |w|. Poniamo z=a+ib e w=c+id. Allora
Poiché l'ultima disuguaglianza è ovvia si conclude subito.
Proviamo ora che |zw| = |z| |w|. Con le notazioni di prima si ha:
L'ultima uguaglianza è ovvia, il che permette di concludere.