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Qualche strana funzione esponenziale

Proponiamo in questa pagina alcune funzioni esponenziali non usuali, volutamente patologiche, con il relativo grafico. Esse possono essere utili per aiutare a comprendere le difficoltà connesse col concetto di potenza nei reali.

Esempio 1: studiare la funzione f(x) = (-2)x.

Poiché le potenze con base negativa sono definite solo per esponenti interi (positivi o negativi), il dominio di questa funzione è costituito solo dagli elementi di Z, e il suo grafico è il seguente:

(-2)^x

Esempio 2: studiare la funzione f(x) = xx.

Ragionando come nell'esempio 1 si vede che la funzione è definita per tutti gli x>0 e per tutti gli interi strettamente negativi. Il suo grafico, per gli x positivi, non è banale, mentre per gli x negativi può essere ottenuto facilmente per calcolo diretto.

x^x

Esempio 3: studiare la funzione  f(x) = (x2)x.

Questa funzione è definita per tutti gli x diversi da zero, in quanto la base della potenza, tranne che per x=0, è strettamente positiva. Il suo grafico, che non si può ottenere con metodi elementari, è riportato qui sotto.

(x^2)^x

Esempio 4: studiare la funzione  f(x) = x(2x).

Questa funzione differisce da quella dell'esempio 3 per il dominio, in quanto questa volta la base (che non è elevata al quadrato), non è sempre positiva. Per gli x positivi non si ha alcuna differenza con l'esempio 3; per gli x negativi essa risulta definita solo quando 2x è intero, ovvero quando x = a/2, con a intero negativo: img. . Il suo grafico, per alcuni valori negativi, è rappresentato qui sotto.

x^(2x)

Si noti, confrontando gli esempi 3 e 4, che img.

Naturalmente, per fortuna, non tutte le funzioni che coinvolgono le potenze sono così patologiche!

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pagina pubblicata il 15/03/2005 - ultimo aggiornamento il 30/09/2007