Il logo di batmath
www.batmath.it

Limiti di funzioni e grafici

Le rappresentazioni grafiche, sia per introdurre il concetto di limite, che per valutare i limiti stessi sono sempre state utilizzate estesamente, per ovvi motivi didattici. Con l'avvento dei computer è diventato quasi obbligatorio sfruttare le loro capacità, fino quasi ad abbandonare completamente la trattazione teorica del concetto di limite, per appoggiarsi solo alla visualizzazione.

Se è naturale sfruttare al meglio le capacità offerteci dalla moderna tecnologia, non dobbiamo però dimenticare i limiti di un approccio sostanzialmente basato solo su tecniche grafiche. Proponiamo alcuni esempi per evidenziare i tranelli in cui si può cadere, se si prende per oro colato quello che il computer ci mostra.

Supponiamo di voler valutare il limite  img. Apriamo il nostro programma preferito di grafica (qui abbiamo usato Mathematica, ma vanno bene tutti) e in men che non si dica riusciamo ad ottenere la seguente immagine

grafico di sin(1/x)

Tutti contenti per la semplicità del risultato ottenuto, concludiamo che il limite richiesto pare essere ∞ (per essere precisi -∞ a sinistra e +∞ a destra): del resto questo grafico non è molto diverso da quello, ben noto, dell'iperbole. Qualche sospetto ci viene però quando, all'improvviso, ci ricordiamo che la funzione seno è sempre compresa tra -1 e 1, per cui non può andare all'infinito. Ritornati al nostro software di grafica analizziamo meglio il problema e chiediamo di stampare anche una scala sull'asse delle ordinate. Otteniamo il nuovo grafico:

grafico di sin(1/x)

Adesso si che possiamo stare tranquilli: il limite richiesto non esiste, perché é -1 da sinistra e +1 da destra.

Proviamo invece a tornare a Mathematica e a fare qualche altra modifica. Per esempio facciamo uno zoom sull'asse x, magari facendoci stampare anche la scala su quest'asse. Otteniamo, con ingrandimenti diversi, i seguenti risultati:

vari grafici di sin(1/x) con diversi zoom

Lasciamo al navigatore il compito di interpretare il risultato, tenendo conto che la funzione considerata è tra quelle che si analizzano più spesso nell'introduzione al concetto di limite.

Negli esempi che seguono, col proposito di trovare i limiti indicati, mostriamo due grafici con scale diverse per ogni caso, senza commenti e senza l'indicazione della scala. Per ogni coppia di grafici la scala sull'asse delle y è identica.

grafici di 1-e^(-x^2)

grafici di xsin(1/x)

grafici di artan|x|)

Come si vede facilmente, anche funzioni completamente diverse possono avere andamenti sostanzialmente identici, se esaminate a scale opportune!

Per evitare che a qualcuno possa venire in mente che, magari con opportuni zoom, qualsiasi problema di limite possa essere risolto per via grafica, vi invitiamo a guardare l'esempio di una funzione particolarmente discontinua.

link a top pagina

pagina pubblicata il 09/03/2005 - ultimo aggiornamento il 09/03/2005